Restriction à un sous-espace vectoriel stable d'un endomorphisme diagonalisable. Deuxième méthode

Enoncé

Les hypothèses de cet exercice utilisent le résultat de l'exercice 1 :

Un sous-espace stable par un endomorphisme diagonalisable admet un supplémentaire stable.

Soient un espace vectoriel sur ou de dimension finie , , et un endomorphisme de diagonalisable.

Soit un sous-espace vectoriel de de dimension , , stable par .

  1. Soit un supplémentaire de stable par .

    Pour toute valeur propre de , on note le sous-espace propre associé à , et et les sous-espaces vectoriels de suivants :

    et .

    a. Montrer l'égalité : .

    b. Soient les valeurs propres distinctes de .

    Montrer les égalités :

    et .

  2. En déduire que admet une base de vecteurs propres de , restriction de au sous-espace , et donc que la restriction de au sous-espace est diagonalisable.

Temps de résolution indicatif :12 mn
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