Base de vecteurs propres communs à deux endomorphismes diagonalisables qui commutent

Enoncé

Il est utile pour résoudre cet exercice de connaître le résultat de l'exercice 2 :

La restriction à un sous-espace vectoriel stable d'un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable.

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie , . On considère deux endomorphismes et de tels que .

  1. Montrer que les sous-espaces propres de sont stables par .

  2. Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun à et .

  3. Montrer que si et sont diagonalisables, il existe une base commune de vecteurs propres.

    L'endomorphisme est-il diagonalisable ?

  4. On considère les matrices et et les endomorphismes de associés à ces matrices dans la base canonique de .

    La propriété démontrée au 3 est-elle vérifiée ? Expliquer.

Temps de résolution indicatif :15 mn
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