Base de vecteurs propres communs à un ensemble d'endomorphismes diagonalisables qui commutent

Enoncé

Il est utile pour résoudre cet exercice de connaître le résultat de l'exercice 2 :

La restriction à un sous-espace vectoriel stable d'un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable.

Soit le corps ou .

Pour tout entier ( ), on considère la propriété suivante :

: « Dans un -espace vectoriel de dimension finie ( ), il existe une base formée de vecteurs propres communs à un ensemble d'endomorphismes diagonalisables qui commutent entre eux. »

  1. Montrer que la propriété est vraie.

  2. Soit strictement supérieur à . On suppose que la propriété est vraie pour tout entier , .

    Soit un -espace vectoriel de dimension , un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux.

    a. Montrer que si tous les éléments de sont des homothéties, la propriété est vérifiée.

    b. On suppose qu'il existe un élément de qui n'est pas une homothétie. On note les valeurs propres de et les sous-espaces propres associés.

    Soit un entier compris entre et , montrer que le sous-espace vectoriel est stable par tous les endomorphismes de :

    En déduire que la propriété est vraie.

  3. Conclure.

Temps de résolution indicatif :15 mn
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