Homothéties
Le problème est traité dans le cas d'un espace vectoriel de type fini quelconque, mais il est clair que l'on retrouve les notions vues dans le cadre de la géométrie classique et que cela justifie le vocabulaire.
Définition :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de type fini. Soit \(\lambda\) appartenant à \(\mathbf K\). On appelle homothétie de rapport \(\lambda\) l'application de \(E\) dans lui-même définie par :
\(\begin{array}{cccccc}E&\to&E\\x&\mapsto&\lambda x\end{array}\)
Il est immédiat que : \(h_\lambda=0\Leftrightarrow\lambda=0\).
Les propriétés des homothéties sont immédiates. On peut les classer en deux catégories.
Proposition : Propriétés vectorielles
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de type fini.
Une homothétie est une application linéaire de \(E\) dans \(E, (h_\lambda=\lambda Id_E)\) dont la matrice dans toute base est
\(\lambda I_{\textrm{dim }E}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda&0&\cdots&0\\0&\lambda&&\vdots\\\vdots&&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda\end{array}\right)\).
Ce résultat peut être interprété en termes de valeur propre et vecteur propre : il en résulte immédiatement que \(\lambda\) est la seule valeur propre de \(h_\lambda\), que tout vecteur non nul de \(E\) est vecteur propre de \(h_\lambda\) et que toute base de \(E\) est une base de vecteurs propres.
On a une autre catégorie de propriétés liées à la composition des applications. Elles sont données par la proposition suivante :
Proposition : Structure de groupe pour la composition de l'ensemble des homothéties
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de type fini.
Le composé de deux homothéties est une homothétie, plus précisément :
\(h_\lambda\bigcirc h_\mu=h_{\lambda\mu}\)
L'application identique est une homothétie, plus précisément :
\(Id_E=h_1\)
Toute homothétie non nulle (autrement dit de rapport non nul) est une bijection et admet donc une application réciproque. L'application réciproque d'une homothétie de rapport non nul est encore une homothétie, à savoir :
\(h_\lambda^{-1}=h_{\lambda^{-1}}\)
Pour ceux qui connaissent cette notion, cela prouve que les homothéties de rapport non nul forment un groupe pour la composition.
Que se passe-t-il lorsque l'on compose une homothétie et un endomorphisme quelconque ?
La réponse est apportée par la proposition suivante :
Proposition : Homothétie et composition des endomorphismes
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de type fini :
Les homothéties commutent avec tous les endomorphismes de \(E\).
La réciproque est vraie : un endomorphisme qui commute avec tous les endomorphismes de \(E\) est une homothétie.
Preuve :
La preuve de la propriété 1. est immédiate. Celle de la propriété 2. est plus difficile. Il en existe de nombreuses.
Nous allons donner les principales étapes de l'une d'elle qui est simple quand aux concepts mais assez calculatoire.
Il est équivalent de démontrer qu'une matrice carrée d'ordre \(n\) qui commute avec tous les éléments de \(M_n(\mathbf K)\) est une matrice de la forme \(\lambda I_n\).
L'espace vectoriel \(M_n(\mathbf K)\) est de dimension finie et on en connaît explicitement une base, celle déterminée par les matrices élémentaires \(E_{i,j}\). Rappelons que la matrice élémentaire est la matrice dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la\( i\)-ème ligne, \(j\)-ème colonne qui est égal à \(1\).
Il est facile de vérifier qu'une matrice commute avec toutes les autres si et seulement si elle commute avec les matrices élémentaires.
Il reste à faire les calculs explicites des produits \(ME_{i,j}\) et \(E_{i,j}M\) pour déterminer les matrices \(M\) commutant avec toutes les matrices élémentaires.