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Projecteurs

Soit un espace vectoriel de type fini.

Définition

Soient et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de , donc tels que . Pour tout de il existe un unique couple appartenant à tel que .

L'application qui à associe sa composante sur est le projecteur sur le sous-espace parallèlement à .

  • Projecteur dans

  • Projecteur dans

Les propriétés suivantes sont immédiates.

Proposition : Propriétés vectorielles d'un projecteur

Un projecteur est une application linéaire.

Si et si est le projecteur sur le sous-espace vectoriel parallèlement à , alors :

Remarque

est le projecteur sur parallèlement à .

On en déduit immédiatement les corollaires suivants :

Corollaire

Si et si est le projecteur sur le sous-espace vectoriel parallèlement à , alors :

Corollaire

Si et si est le projecteur sur le sous-espace vectoriel parallèlement à , alors :

En effet si appartient à , l'écriture de comme somme d'un élément de et d'un élément de est et par conséquent .

De même si appartient à , l'écriture de comme somme d'un élément de et d'un élément de est et par conséquent .

Une conséquence de ces propriétés est la stabilité par des sous-espaces et .

Nous allons donner une caractérisation d'un projecteur.

Théorème : Caractérisation d'un projecteur
  1. Si est un projecteur, on a : .

  2. Réciproquement si est un endomorphisme de tel que , alors est le projecteur sur parallèlement à .

Preuve : Preuve du 1.

si avec élément de et élément de , on a :

, d'où puisque appartient à .

Preuve : Preuve du 2.

si est un endomorphisme de tel que , alors on a . En effet, soit un élément de . Alors on a les deux propriétés :

Comme , il vient et donc . D'où . Le théorème du rang permet de conclure, grâce à un argument de dimension, que , d'où le résultat.

Proposition : Matrice associée à un projecteur

Soient et deux sous-espaces vectoriels de , non réduits au vecteur nul et supplémentaires .

Soient et des bases de et respectivement. Soit le projecteur sur parallèlement à .

La matrice de dans la base déterminée par la réunion des vecteurs de et est égale à est la dimension de .

La matrice est la matrice unité d'ordre . La matrice est la matrice carrée d'ordre dont tous les coefficients sont nuls.

On peut interpréter ce résultat dans le langage de la théorie de la diagonalisation. En effet ce résultat signifie qu'un projecteur est diagonalisable, que ses valeurs propres sont et et enfin que le sous-espace propre associé à la valeur propre est et celui associé à la valeur propre est .

Remarque

Sauf dans le cas où , cela donne un exemple d'endomorphisme diagonalisable ayant un nombre de valeurs propres distinctes strictement inférieur à la dimension de l'espace considéré.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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