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Affinités

Soit un espace vectoriel de type fini.

Définition

Soient et deux sous-espaces vectoriels de , non réduits au vecteur nul et supplémentaires, donc tels que . Soit un élément de .

Pour tout de , il existe un unique couple appartenant à tel que . L'application :

est l'affinité de rapport , par rapport au sous-espace et parallèlement à .

  • Affinité de rapport dans

Proposition : Propriétés vectorielles

Une affinité est une application linéaire.

Si est l'affinité de rapport , par rapport au sous-espace et parallèlement à , alors les sous espaces et sont stables par . La restriction de à est l'identité ; la restriction de à est l'homothétie de rapport . On a :

Remarque

La symétrie par rapport au sous-espace et parallèlement à est l'affinité de rapport , par rapport au sous-espace et parallèlement à . La projection par rapport au sous-espace et parallèlement à est l'affinité de rapport , par rapport au sous-espace et parallèlement à .

Enfin on a le résultat suivant sur la matrice associée à une symétrie dans une base bien choisie.

Proposition : Matrice associée à une affinité

Soient et deux sous-espaces supplémentaires de , non réduits au vecteur nul. Soient et des bases de et respectivement. Soit l'affinité de rapport , par rapport au sous-espace , parallèlement à .

Sa matrice dans la base déterminée par la réunion des vecteurs de et est égale à est la dimension de et celle de .

On peut interpréter ce résultat dans le langage de la théorie de la diagonalisation. En effet ce résultat signifie que l'affinité de rapport , par rapport à et parallèlement à est diagonalisable, que ses valeurs propres sont et et enfin que le sous-espace propre associé à la valeur propre est et celui associé à la valeur propre est .

On en déduit la caractérisation suivante :

Théorème : Caractérisation d'une affinité

Soit un espace vectoriel de type finie

  1. Si est une affinité de rapport , on a :

  2. Réciproquement soit un scalaire différent de et un endomorphisme de tel que , alors est l'affinité de rapport par rapport à parallèlement à .

Preuve : Preuve de la propriété 1.

La propriété 1. peut être facilement vérifiée grâce au calcul matriciel. En effet la matrice associée à l'endomorphisme par rapport à la base déterminée par la réunion des vecteurs de et est égale à . Alors

.

Preuve : Preuve de la propriété 2.

Pour justifier la propriété 2. on montre que et sont des sous-espaces vectoriels de et que est somme directe de et . Pour cela on suit le plan suivant :

  1. Comme et , et sont des sous-espaces vectoriels de .

  2. On vérifie que (l'hypothèse utile est ici )

  3. On montre que tout élément de s'écrit comme somme d'un élément de et d'un élément de .

    Pour cela on utilise la méthode classique : on suppose le problème résolu et on trouve la seule décomposition possible d'un vecteur de (là encore l'hypothèse essentielle est ). Ensuite on vérifie que c'est une solution du problème et c'est à ce niveau qu'est utilisé l'hypothèse .

    Cela permet de caractériser .

Complément : Preuve complète de la propriété 2.
  • Première étape :

    .

    Soit donc un élément de . Il vérifie les deux égalités :

    Comme est différent de , elles impliquent que .

  • Deuxième étape :

    tout élément de s'écrit comme somme d'un élément de et d'un élément de .

    Supposons le problème résolu. Cela signifie qu'il existe un élément de et un élément de tels que . Alors

    .

    Des égalités et et de l'hypothèse , on déduit immédiatement que :

    ,

    Pour terminer la démonstration, il faut démontrer que ces valeurs conviennent c'est-à-dire que leur somme est égale à , que appartient à et que appartient à .

    On a :

    Calculons .

    On obtient : .

    Or d'après l'hypothèse faite, .

    Donc .

    Donc .

    De même .

    Comme , il vient .

    Par conséquent .

    Ceci achève la démonstration.

Remarque

Si , une application linéaire vérifiant (c'est-à-dire ) n'est pas nécessairement égale à une affinité de rapport (qui est l'identité). Par exemple l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à est bien tel que et n'est pas égal à l'identité.

Légende :
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S'exercer
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