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Symétrie

Soit un espace vectoriel de type fini.

Définition

Soient et deux sous-espaces vectoriels de , non réduits au vecteur nul et supplémentaires, donc tels que . Pour tout de , il existe un unique couple appartenant à tel que . L'application :

est la symétrie par rapport au sous-espace parallèlement à .

  • Symétrie dans

  • Symétrie dans

On a immédiatement les propriétés suivantes :

Proposition : Propriétés vectorielles

Une symétrie est une application linéaire.

Si est la symétrie par rapport au sous-espace vectoriel parallélement à , alors les sous espaces vectoriels et sont stables par . La restriction de à est l'identité ; la restriction de à est l'homothétie de rapport . On a :

Théorème : Caractérisation d'une symétrie
  1. Si est une symétrie, on a :

  2. Réciproquement si est un endomorphisme de tel que , alors est la symétrie par rapport à parallèlement à .

Remarque

un endomorphisme qui vérifie une relation de la forme est une involution.

Preuve
  • preuve de la propriété 1 :

    La propriété 1. est immédiate d'après la définition de .

  • preuve de la propriété 2 : (deux méthodes)

    • première méthode :

      La première étape de la preuve de la propriété 2. consiste à démontrer que et définis par et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires.

      Ce sont des sous-espaces vectoriels car ce sont des noyaux d'endomorphismes : et .

      Ils sont supplémentaires. En effet, soit un élément de . Il vérifie les deux relations et . D'où l'égalité . Le vecteur est donc le vecteur nul.

      Soit un élément quelconque de . Considérons les éléments et . Il est facile de vérifier que est élément de élément de et que . Donc .

      Pour conclure, il suffit de vérifier que ce qui est immédiat.

    • On peut aussi faire une démonstration plus élégante, utilisant la notion de polynôme minimal.

      Soit donc est un endomorphisme de tel que . Le polynôme est un polynôme annulateur de . Le polynôme minimal de divise donc et par conséquent n'a que des racines simples. L'endomorphisme est donc diagonalisable. Trois cas sont possibles :

      • Ou bien , alors et .

      • Ou bien alors et .

      • Ou bien et , alors les valeurs propres de sont et , est le sous-espace propre associé à la valeur propre est le sous-espace propre associé à la valeur propre et , puisque est diagonalisable.

      Dans les trois cas, la propriété est vraie.

      La propriété pour une symétrie d'être diagonalisable est démontrée par des moyens élémentaires dans la propriété suivante.

Enfin on a le résultat suivant sur la matrice associée à une symétrie dans une base bien choisie.

Proposition : Matrice associée à une symétrie

Soient et deux sous-espaces vectoriels de supplémentaires, non réduits au vecteur nul . Soient et des bases de et respectivement. Soit la symétrie par rapport au sous-espace parallèlement à . Sa matrice dans la base déterminée par la réunion des vecteurs de et est égale à est la dimension de et celle de .

On peut interpréter ce résultat dans le langage de la théorie de la diagonalisation. En effet ce résultat signifie que la symétrie par rapport à parallèlement à est diagonalisable, que ses valeurs propres sont et et enfin que le sous espace propre associé à la valeur propre est et celui associé à la valeur propre est .

Remarque
  1. Relation entre symétrie et projecteur

    Soient et deux sous-espaces vectoriels de , non réduits au vecteur nul et supplémentaires. Il est facile de vérifier la relation : , avec symétrie par rapport au sous-espace parallèlement à et est la projection sur le sous-espace parallèlement à .

  2. Comme pour les projecteurs, cela donne un exemple d'endomorphisme diagonalisable ayant un nombre de valeurs propres distinctes strictement inférieur à la dimension de l'espace considéré (sauf dans le cas où ).

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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