Mathématiques
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Test de niveau 1
Le test comporte 3 questions :
Calcul des puissances d'une matrice
Polynôme minimal et valeurs propres d'une matrice d'ordre 4
Calcul d'un polynôme de matrice
La durée indicative du test est de 50 minutes.
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Calcul des puissances d'une matrice

On considère la matrice et la matrice unité d'ordre 3.

  1. Calculer le polynôme caractéristique de .

  2. Montrer que est inversible, exprimer A-1 en fonction de A², A, I, puis calculer A-1.

  3. Pour entier supérieur ou égal à 3, déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par .

  4. Exprimer An en fonction de A², A, I. En déduire An pour tout entier positif .

Polynôme minimal et valeurs propres d'une matrice d'ordre 4

Soit a, b ,c, a', b', c' des éléments de liés par la relation :

(*)

Soit A la matrice de définie par :

  1. Montrer que , où I4 est la matrice unité d'ordre 4.

  2. Déterminer le polynôme minimal de .

  3. Déterminer les valeurs propres de ; la matrice est-elle diagonalisable ?

  4. Quel est le polynôme caractéristique de ?

Calcul d'un polynôme de matrice

On considère le polynôme .

Calculer pour .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Calcul des puissances d'une matrice
  1. En retranchant la troisième ligne de la première, on obtient :

    Puis en additionnant la première colonne à la troisième, on a :

    Si on développe, on obtient : .

  2. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, est un polynôme annulateur de .

    D'où la relation : , où I désigne la matrice unité d'ordre 3.

    On en déduit :

    La matrice A est donc inversible et sa matrice inverse est :

    D'où

  3. Soit un entier supérieur ou égal à 3, la division euclidienne du polynôme Xn par le polynôme caractéristique de , s'écrit :

    avec ou

    Or .

    Donc le reste s'écrit : .

    En substituant successivement 1 et 2 à on obtient les deux relations :

    Le réel 1 étant racine double de .

    On obtient ainsi une troisième relation en dérivant la relation (*) :

    d'où .

    on a donc le système :

    La résolution de ce système donne :

    Le reste de la division est donc :

  4. De l'égalité (*) de la question précédente on déduit :

    D'après le théorème de Cayley-Hamilton, ,

    d'où

    On vérifie que cette relation est encore vraie pour , et (avec la convention )

    Ce qui donne :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Polynôme minimal et valeurs propres d'une matrice d'ordre 4

Le calcul de l'élément de la ligne 1 et colonne 1 de A² donne : d'après la relation (*).

Celui de l'élément de la ligne 2 colonne 1 donne : .

En calculant de même les autres coefficients on obtient :

On a donc la relation , le polynôme est donc un polynôme annulateur de .

Le polynôme minimal de est donc un diviseur de .

Par conséquent les seules possibilités sont : ou .

La matrice étant visiblement différente de I4 et de -I4 (ce qui exclut que ou soit annulateur de ), on en déduit que .

Les racines du polynôme minimal de sont les valeurs propres de , donc les valeurs propres sont et . Ce sont des racines simples de , donc est diagonalisable.

Le polynôme caractéristique de est de degré 4, son terme de plus haut degré est et il a les mêmes facteurs irréductibles que le polynôme minimal .

Il y a donc a priori trois possibilités :

La trace de la matrice est égale à 0, donc la somme des racines du polynôme caractéristique (valeurs propres de distinctes ou confondues) est nulle, on peut donc exclure et .

On en conclut que

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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Calcul d'un polynôme de matrice

Calculons le polynôme caractéristique de , car, d'après le théorème de Cayley-Hamilton on aura ainsi un polynôme annulateur de .

On a donc .

Si l'on fait la division euclidienne du polynôme par le polynôme , on obtient la relation :

avec ou .

Le reste est donc nul ou de degré inférieur ou égal à 2.

Sachant que , on a : ).

On effectue la division et on obtient :

Par conséquent .

Il reste à calculer effectivement P(A) :

D'où

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/50
Seuil critique :32
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :50 min.
Conclusion :
Légende :
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S'exercer
Observer
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