Théorème de Cayley-Hamilton

Calculons le polynôme caractéristique de \(A\), car, d'après le théorème de Cayley-Hamilton on aura ainsi un polynôme annulateur de \(A\).

\(P_{car,A}(X)=\left|\begin{array}{cccccccc} 1-X&0&2& \\0&-1-X&1 \\0&1&-X\end{array}\right|\)

\(P_{car,A}(X)=(1-X)\left|\begin{array}{cccccccc} -1-X&1& \\ 1&-X \end{array}\right|=(1-X)(X^2+X+1)\)

\(P_{car,A}(X)=-X^3+2X-1\)

On a donc \(P_{car,A}(A)=0\).

Si l'on fait la division euclidienne du polynôme \(P(X)\) par le polynôme \(P_{car,A}(X)\), on obtient la relation :

\(P(X)=P_{car,A}(X)Q(X)+R(X)\) avec \(R(X)=0\) ou \(\deg R(X)<\deg P_{car,A}(X)\).

Le reste \(R(X)\) est donc nul ou de degré inférieur ou égal à 2.

Sachant que \(P_{car,A}(A)=0\), on a : \(P(A)=R(A\)).

On effectue la division et on obtient :

\(P(X)=(-2X^5-4X^3+5X^2-9X+14)(-X^3+2X-1)+24X^2-37X+10\)

Par conséquent \(P(A)=24A^2-37A+10I_3\).

Il reste à calculer effectivement P(A) :

\(A^2=\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&2\\ 0&-1&1 \\ 0&1&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&2 \\ 0&-1&1 \\ 0&1&0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccc} 1&2&2 \\ 0&2&-1 \\ 0&-1&1 \end{array}\right)\)

D'où

\(P(A)=24\left(\begin{array}{cccccccc} 1&2&2\\ 0&2&-1 \\ 0&-1&1 \end{array}\right)-37\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&2 \\ 0&-1&1 \\ 0&1&0 \end{array}\right)+10\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right)\)