Polynôme minimal et valeurs propres d'une matrice d'ordre 4
Durée : 15 mn
Note maximale : 15
Question
Soit a, b ,c, a', b', c' des éléments de \(\mathbb C\) liés par la relation :
\(1+bcb'c'+cac'a'+aba'b'=0\) (*)
Soit A la matrice de \(\mathcal M_4(\mathbf C)\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{cccccc} 0&ba'&-ca'&bc\\ -ab'&0&cb'&ca \\ ac'&-c'b&0&ab \\-b'c'&-c'a'&-a'b'&0\end{array} \right)\)
Montrer que \(A^2=I_4\), où I4 est la matrice unité d'ordre 4.
Déterminer le polynôme minimal de \(A\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\) ; la matrice est-elle diagonalisable ?
Quel est le polynôme caractéristique de \(A\) ?
Solution
Le calcul de l'élément de la ligne 1 et colonne 1 de A² donne : \(-aba'b'-cac'a'-bcb'c'=1\) d'après la relation (*).
Celui de l'élément de la ligne 2 colonne 1 donne : \(acb'c'-cab'c'=0\).
En calculant de même les autres coefficients on obtient :
\(A^2=\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&0&0& \\0&1&0&0 \\0&0&1&0 \\0&0&0&1 \end{array}\right)=I_4\)
On a donc la relation \(A^2-I_4=0\), le polynôme \(P(X)=X^2-1\) est donc un polynôme annulateur de \(A\).
Le polynôme minimal de \(A\) est donc un diviseur de \(P(X)=X^2-1\).
Par conséquent les seules possibilités sont : \(X-1, X+1\) ou \(X^2-1\).
La matrice \(A\) étant visiblement différente de I4 et de -I4 (ce qui exclut que \(X-1\) ou \(X+1\) soit annulateur de \(A\)), on en déduit que \(P_{min,A}(X)=X^2-1\).
Les racines du polynôme minimal de \(A\) sont les valeurs propres de \(A\), donc les valeurs propres sont \(\lambda_1=1\) et \(\lambda_2=-1\). Ce sont des racines simples de \(P_{min,A}(X)\) , donc \(A\) est diagonalisable.
Le polynôme caractéristique de \(A\) est de degré 4, son terme de plus haut degré est \((-1)^4=1\) et il a les mêmes facteurs irréductibles que le polynôme minimal \(P_{min,A}(X)=X^2-1\).
Il y a donc a priori trois possibilités :
\(P_1(X)=(X-1)(X+1)^3, P_2=(X-1)(X+1)^2, P_3(X)=(X-1)^3(X+1)\)
La trace de la matrice \(A\) est égale à 0, donc la somme des racines du polynôme caractéristique (valeurs propres de \(A\) distinctes ou confondues) est nulle, on peut donc exclure \(P_1(X)\) et \(P_3(X)\).
On en conclut que \(P_{car,A}(X)=(X-1)^2(X+1)^2=(X^2-1)^2.\)