Théorème fondamental
Théorème : Condition nécessaire et suffisante de convergence.

Soit une suite de termes positifs ou nuls. La série est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.

La somme de la série est alors égale à la borne supérieure de l'ensemble des réels , , et on a, pour tout entier n : .

Preuve

La suite étant croissante, elle est convergente si et seulement si elle est majorée. Sa limite est alors la borne supérieure de l'ensemble et, pour tout entier , .

Remarque : et convention d'écriture

Dans le cas des séries à termes positifs, la suite est croissante et

  • la série est convergente si et seulement si la suite est majorée. On écrit alors :

  • la série est divergente si et seulement si la suite n'est pas majorée, elle tend alors vers . On écrit

Il convient de ne pas abuser de ces notations qui sont uniquement symboliques et ne s'utilisent que pour les séries à termes positifs.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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