Théorèmes de comparaison

Le théorème de comparaison, qui repose sur les propriétés des suites croissantes, et surtout son corollaire (second théorème de comparaison) jouent un rôle fondamental dans l'étude des séries.

Théorème : Premier théorème de comparaison

Soient et deux suites de nombres positifs vérifiant : , .

- Si la série de terme général est convergente, la série de terme général est convergente. On a alors : .

- Si la série de terme général est divergente, la série de terme général est divergente.

Preuve

Elle repose sur le théorème de comparaison des suites appliqué aux suites partielles croissantes et définies par : et . On a : .

D'où les implications :

  • convergente bornée bornée convergente ;

    on a alors, d'après le théorème de prolongement des inégalités : .

  • divergente non bornée non bornée divergente.

Remarque : fondamentale

Le théorème, en ce qui concerne la nature des séries, reste vrai si les inégalités sont vérifiées à partir d'un certain rang (ce n'est pas vrai pour la comparaison des sommes).

Application. Le théorème de comparaison permet de donner une autre démonstration du théorème sur la convergence des séries absolument convergentes.

Preuve

Il s'agit de montrer que toute série telle que la série est convergente, est également convergente. Compte tenu des inégalités et , il suffit de montrer cette propriété pour des séries réelles.

On considère donc une série à termes réels. On a, pour tout : et . Ainsi, si la série est convergente, il en est de même des séries et , et donc de la série .

Exemple

On se réfère à des séries connues comme séries de comparaison.

  1. étude de la série de terme général

    On a : , . La série est convergente.

  2. étude de la série de terme général

    On a : , , d'où .

    La série est divergente, on en déduit que la série est divergente.

Théorème : Second théorème de comparaison.

Soient et deux suites de nombres positifs. On suppose qu'une des conditions ou est vérifiée :

  1. le rapport est défini à partir d'un certain rang et admet une limite non nulle quand n tend vers .

Alors les séries et sont de même nature.

Preuve

On étudie les deux cas en appliquant le théorème précédent.

  1. La propriété signifie qu'on a avec et donc, à partir d'un certain rang , . On applique alors le théorème précédent.

  2. Comme la limite est non nulle, donc strictement positive compte tenu des hypothèses, on peut prendre tel que .

    Il existe donc un rang à partir duquel est défini et

    , .

    Le terme général est strictement positif pour tout entier . On a donc :

    ,

    On applique alors le théorème précédent.

Remarque : fondamentale

Les théorèmes de comparaison concernent des séries à termes positifs (plus généralement de signe constant à partir d'un certain rang).

La condition de signe constant est indispensable. Ainsi, les séries et vérifient

.

Pourtant, elles ne sont pas de même nature, comme nous le verrons au paragraphe concernant le théorème des séries alternées.

Exemple

Étude de la série de terme général

On remarque que les premiers termes de cette série sont négatifs, mais on a : , ce qui a pour conséquence que la série est à termes positifs à partir d'un certain rang. Elle est donc convergente par application du théorème précédent.

Les théorèmes de comparaison constituent un outil fondamental dans l'étude des séries. Il s'agit maintenant d'avoir un catalogue de séries classiques dont on connaît la nature. C'est le cas des séries géométriques ; on sait par ailleurs que la série harmonique est divergente. Il en est donc de même, par comparaison, des séries pour . Dans un premier temps, les règles de d'Alembert et de Cauchy vont nous permettre de rendre plus opérationnelle la comparaison aux séries géométriques pour certains types de séries à convergence rapide. Dans un second temps, nous allons élargir le catalogue des séries de référence aux séries pour .

Légende :
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