Séries de Riemann. Applications

La connaissance de la nature des séries de Riemann, séries de terme général , jointe au théorème de comparaison, constitue le principal outil dans l'étude des séries à termes positifs et, en tenant compte de la convergence absolue, des séries en général.

Théorème

La série de terme général est

  • convergente si ,

  • divergente si .

Preuve

On utilise une comparaison entre série et intégrale.

Pour , on pose et .

Interprétation :

On suppose , (pour le terme général ne tend pas vers 0 et la série est divergente). À la série , on associe la fonction, définie sur l'intervalle , , ce qui a l'avantage de donner une représentation géométrique du terme général. En considérant cette fonction sur l'intervalle , on a :

.

D'où, en additionnant ces inégalités membre à membre , on obtient, pour :

soit .

Pour , on a : .

Quand tend vers ,

  • pour , on a , la suite , étant croissante et majorée, a une limite, la série est convergente ;

  • pour , on retrouve le fait que la série est divergente.

  1. Étude de la série de terme général

    On a, quand tend vers , . La série est donc convergente.

  2. Étude de la série de terme général

    La série est à termes tous négatifs et, quand tend vers , . La série est donc divergente.

  3. Étude de la série de terme général

    La série est à termes tous positifs, et on a, quand tend vers : . La série est donc divergente.

  4. Étude de la série de terme général

    On a, pour assez grand, , d'où . La série est donc divergente.

  5. Étude de la série de terme général

    Pour assez grand, on a par exemple d'où , la série est convergente.

Dans les deux derniers cas, on a utilisé le premier théorème de comparaison.

On peut énoncer encore la règle suivante dite “Règle

Règle

Pour qu'une série à termes positifs soit convergente, il suffit qu'il existe un réel tel que la suite soit majorée.

Pour qu'une série à termes positifs soit divergente, il suffit qu'il existe un réel strictement positif tel qu'on ait, à partir d'un certain rang, .

Légende :
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