Règles de d'Alembert et de Cauchy
Soit \(k\) un réel positif ; on sait que la série de terme général \(k^n\) est convergente si \(k < 1\), divergente si \(k\geq 1\). Les règles que nous donnons ici concernent des séries qu'on peut comparer à une série géométrique. Dans cette optique, on étudie la suite \((\sqrt[n]{u_n})\), ce qui conduit à la règle de Cauchy, et, lorsqu'elle existe, la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\), ce qui conduit à la règle de d'Alembert.
Théorème : Règle de Cauchy.
Soit \((u_n)\) une suite à termes positifs. On suppose que la suite \((\sqrt[n]{u_n})\) a une limite \(L\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Alors :
si \(L < 1\), la série de terme général \(u_n\) est convergente ;
si \(L > 1\), la série de terme général \(u_n\) est divergente.
Preuve :
On compare la série initiale avec une série géométrique.
Supposons \(L < 1\) ; il existe un réel \(k\) tel que \(L<k<1\). Pour \(n\) assez grand, on a : \(\sqrt[n]{u_n}<k\), d'où \(u_n<k^n\). La série de terme général \(u_n\) est convergente.
Si \(L > 1\), on a, pour \(n\) assez grand, \(\sqrt[n]{u_n}\geq 1\), d'où \(u_n\geq 1\). Le terme général \(u_n\) ne tend pas vers 0. La série de terme général \(u_n\) est donc divergente.
Exemple :
La règle de Cauchy n'est bien adaptée qu'à l'étude des séries dont le terme général contient essentiellement des puissances.
Étude de la série de terme général \(u_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}(n\geq 1)\)
On a : \(\sqrt[n]{u_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\).
On en déduit : \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\sqrt[n]{u_n}=\frac1e<1\). La série est convergente.
Étude de la série de terme général \(u_n=\frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}(n\geq 2)\)
On a : \(\sqrt[n]{u_n}=\frac{n^{\frac{\ln n}{n}}}{\ln n}=\frac{\exp\frac{(\ln n)^2}{n}}{\ln n}\). Or \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\frac{(\ln n)^2}{n}=0\), d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\sqrt[n]{u_n}=0\). La série est convergente.
Théorème : Règle de d'Alembert.
Soit \((u_n)\) une suite à termes positifs. On suppose que la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) est définie pour \(n\) assez grand et a une limite \(L\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Alors
si \(L < 1\), la série de terme général \(u_n\) est convergente ;
si \(L > 1\), la série de terme général \(u_n\) est divergente.
Preuve :
Supposons \(L < 1\). Il existe un réel \(k\) tel que \(L<k<1\) et il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout entier \(n\geq n_0\), on ait \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq k\). On en déduit, pour tout entier i : \(u_{n_0+i}\leq k^iu_{n_0}\). La série de terme général \(u_n\) est convergente.
Si \(L > 1\), il existe un entier \(n_1\) tel que, pour tout entier \(n\geq n_1\), on ait \(u_n>0\) et \(u_{n+1}>u_n\) d'où \(u_n\geq u_{n_1}>0\). Le terme général \(u_n\) ne tend pas vers 0. La série de terme général \(u_n\) est donc divergente.
Exemple :
La règle de d'Alembert est bien adaptée aux cas où \(u_n\) s'exprime à l'aide de produits, en particulier quand \(u_n\) contient des puissances ou des factorielles. On le verra dans le cas des séries entières.
Étude de la série de terme général \(u_n=\frac{x^n}{n!} ~ (x\in \mathbb R^*_+)\)
Il s'agit d'une série à termes tous strictement positifs. On a : \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{x^n}=\frac{x}{n+1}\). On en déduit : \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0<1\).
La série est convergente (on retrouve le fait que le terme général \(u_n=\frac{x^n}{n!}(x\in \mathbb R^*_+)\) tend vers 0).
On peut même calculer la somme de la série : en appliquant la formule de Taylor-Lagrange (cf. chapitre sur les fonctions de classe \(C^n\)) à la fonction exponentielle sur l'intervalle \([0,x]\), pour tout \(x\) réel strictement positif, on obtient l'égalité :
\(\exp x=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=0}^n}\frac{x^k}{k!}\), c'est-à-dire, \(\exp x=\displaystyle{\sum_0^{+\infty}}\frac{x^n}{n!}\).
On reviendra sur ce point de vue dans le chapitre sur les séries entières.
Étude de la série de terme général \(u_n=\frac{n!}{n^n} ~ (n\geq 1)\)
Tous les termes de la série sont strictement positifs. On a : \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!}{n!}\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\).
On en déduit : \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac1e<1\).
La série est donc convergente. On en déduit en particulier que le terme général \(u_n=\frac{n!}{n^n}\) tend vers 0.
Ainsi, quand on considère les trois infiniment grands \(x^n(x>0)\), \(n!\), \(n^n\), on a, pour \(n\) assez grand : \(x^n<n!<n^n\).
En fait on a montré que, quand n tend vers \(+\infty\), \(x^n(x>0)\) est négligeable devant \(n!\) et \(n!\) est négligeable devant \(n^n\), ce qui signifie qu'on a :
\(x^n=n!\epsilon_1(n)\) et \(n!=n^n\epsilon_2(n)\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\epsilon_1(n)=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\epsilon_2(n)=0\).
Remarque :
Dans le cas de la règle de Cauchy comme dans le cas de la règle de d'Alembert, si la limite \(L\) est égale à 1 on ne peut pas conclure.
Le champ d'application de ces règles est restreint : il s'agit de séries dont la convergence est rapide (convergence géométrique) ou dont la divergence est rapide (divergence géométrique). Dans le cas de la divergence, on doit, en principe s'en être rendu compte avant : le terme général ne tend pas vers 0.
Attention ! Il ne suffit pas qu'on ait, pour tout \(n\), \(\sqrt[n]{u_n}<1\) ou \(\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\)pour que la série soit convergente. Dans le cas de la série harmonique, on a pour tout \(n\geq1\), \(0<\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\) et la série est divergente. On remarque que l'une et l'autre des preuves utilisent explicitement l'existence d'un réel \(k\) vérifiant \(L<k<1\).
De façon générale, les règles de d'Alembert et de Cauchy ne permettent pas d'étudier les séries de terme général \(\frac{1}{n^s} ~ (n\geq1, s>0)\), car on a alors :
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^s\) d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1\) et \(\sqrt[n]{u_n}=n^{-\frac5n}=e^{-\frac5n\ln n}\) d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}\sqrt[n]{u_n}=1\).
Cette étude est l'objet du paragraphe suivant.
Une dernière remarque : l 'application de la règle de d'Alembert est d'un emploi en général plus ”facile” que celle de la règle de Cauchy. Mais on verra en exercice, que si la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) a une limite, alors la suite \(\left(\sqrt[n]{u_n}\right)\) a une limite qui est la même que celle de \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\). La réciproque est fausse : il est des cas où la suite \(\left(\sqrt[n]{u_n}\right)\) a une limite mais pas la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\).