Théorème général

Notons que le dernier des trois théorèmes démontrés (théorème C), qui concerne les fonctions positives et décroissantes, peut être étudié indépendamment des théorèmes A et B. Nous en donnerons deux démonstrations dont une directe. On peut donc, dans un premier temps, laisser de côté la démonstration des deux premiers ou, beaucoup mieux, la considérer comme un très bon exercice théorique.

L'étude repose sur le théorème relatif aux intégrales impropres de la forme que nous rappelons ici. C'est ce théorème qui permet d'établir le critère de Cauchy pour les intégrales impropres.

Théorème

Soit une fonction localement intégrable sur un intervalle . Pour que l'intégrale soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute suite qui tend vers , la suite définie par soit convergente. On a alors

.

Théorème : A

Soit une fonction localement intégrable sur un intervalle . L'intégrale est convergente si et seulement si, pour toute suite qui tend vers , la série de terme général est convergente.

Preuve

On pose . D'après le théorème rappelé ci-dessus, l'intégrale est convergente si et seulement si pour toute suite qui tend vers , la suite définie par est convergente, soit encore si et seulement si la suite est de Cauchy.

Or on a, pour : .

L'intégrale est convergente si et seulement si la série satisfait au critère de Cauchy, soit encore si et seulement si la série est convergente.

Remarque : fondamentale

Ce théorème permet de montrer

  • la divergence d'une intégrale : il suffit de trouver une suite particulière, telle que la série associée soit divergente. On peut retrouver ainsi le fait que l'intégrale n'est pas absolument convergente.

    On a en effet si , et est donc le terme général d'une série divergente.

  • la convergence ou la divergence d'une série : on peut retrouver ainsi les résultats concernant la convergence des séries de Riemann en associant à la série la fonction , définie sur l'intervalle .

    En revanche, on ne montre pas en général la convergence d'une intégrale par cette méthode : il faudrait en effet considérer toutes les suites qui tendent vers .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)