Mathématiques
Précédent
Suivant
Applications. Étude des séries de Bertrand

On considère les séries de terme général dites séries de Bertrand.

On remarque que seuls posent problème les cas , avec . En effet, d'après les théorèmes de comparaison ou la règle :

  • pour , on a et donc quand tend vers ; la série est divergente ;

  • pour il existe vérifiant alors ; la série est convergente ;

  • pour , alors on a, pour assez grand, et la série est divergente.

On considère maintenant le cas : . Les théorèmes généraux ne permettent pas, en effet, de l'étudier. On associe à la série la fonction, , définie sur l'intervalle . Cette fonction est positive et décroissante. La série est de même nature que l'intégrale , transformée par le changement de variable bijectif en l'intégrale . Cette dernière converge si et seulement si .

Conclusion

Les séries de Bertrand, séries de terme général sont convergentes si et seulement si : ou avec .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)