Cas des fonctions positives

Encore une fois les fonctions positives montrent leur bonne volonté ! Il suffit, pour assurer la convergence de l'intégrale , de la convergence de la série pour une suite qui tend vers .

Théorème : B

Soit une fonction localement intégrable sur l'intervalle à valeurs dans . L'intégrale est convergente si et seulement s'il existe une suite croissante et tendant vers , telle que la série soit convergente.

Preuve

Seule la partie concernant la condition suffisante est à démontrer.

Idée de la démonstration : elle repose sur les équivalences suivantes

  • d'une part entre la convergence de la série et la majoration des sommes partielles,

  • d'autre part entre la convergence de l'intégrale et la majoration de la fonction .

On pose et . La convergence de la série entraîne l'existence d'un majorant pour la suite . On a donc, pour tout entier : .

Soit . Il existe tel que . On a alors :

,

est une constante. L'intégrale est donc convergente.

Seule la partie concernant la condition suffisante est à démontrer.

Idée de la démonstration : elle repose sur les équivalences suivantes

  • d'une part entre la convergence de la série et la majoration des sommes partielles,

  • d'autre part entre la convergence de l'intégrale et la majoration de la fonction .

Légende :
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