Cas des fonctions positives et décroissantes
Théorème : C

Soit une fonction décroissante sur l'intervalle à valeurs dans . L'intégrale est convergente si et seulement si la série est convergente.

Preuve

On utilise les théorèmes A et B.

On pose : et .

La décroissance de la fonction entraîne, pour , les inégalités :

.

Condition nécessaire

Si l'intégrale est convergente, alors, d'après le théorème A, la série est convergente et les inégalités ci-dessus entraînent la convergence de la série .

Condition suffisante

Si la série est convergente, les inégalités précédentes entraînent la convergence de la série et, d'après le théorème B, l'intégrale est convergente.

Preuve

On peut donner une démonstration directe qui n'utilise pas les théorèmes A et B.

On suppose par exemple entier, et on pose :

et .

À partir des inégalités : , on obtient, en les additionnant membre à membre pour , . Soit, en notant la suite des sommes partielles de la série de terme général :

.

Si l'intégrale est convergente, alors la suite croissante est majorée et donc convergente et la série est convergente.

Si la série est convergente, alors pour , on a, si on désigne par la partie entière de , . Ainsi la fonction , qui est croissante, est majorée et a donc une limite quand tend vers . L'intégrale est convergente.

Ces théorèmes permettent de retrouver les résultats concernant les séries de Riemann. Grâce au théorème C, on peut étudier les séries de Bertrand.

Légende :
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