Exponentielle complexe

Dans \(R\), la fonction exponentielle est une application de \(R\) dans \(R^*_+\)qui vérifie :

\(\forall x_1\in R, \forall x_2\in R, \exp{(x_1+x_2)}=\exp{(x_1)}\exp{(x_2)}\).

On se propose de prolonger la fonction exponentielle à \(C\), c'est-à-dire de trouver une fonction que l'on notera encore exp vérifiant :

• \(\forall z_1\in C, \forall z_2\in C, \exp{(z_1+z_2)}=\exp{(z_1)}\exp{(z_2)}\)

• la fonction exp coïncide avec la fonction exponentielle sur \(R\).

La méthode repose sur la propriété que, dans \(R\), la fonction exponentielle est la somme de la série entière \(\sum \frac{x^n}{n!}\). On définit donc l'exponentielle dans \(C\) à partir de la somme de la série \(\sum \frac{z^n}{n!}\) dont on a vu que le rayon de convergence est infini.