Définition et continuité
La série entière \(\sum \frac{z^n}{n!}\) a un rayon de convergence infini et, pour tout \(x\) réel, on a :
\(e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\).
Ainsi est-on conduit pour “prolonger” de façon “naturelle” l'exponentielle à \(C\), à donner la définition suivante.
Définition :
On appelle exponentielle complexe, l'application notée exp : .\(C\rightarrow C, z\mapsto \exp{z}=e^z=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}\)
Comme il s'agit de la somme d'une série entière de rayon de convergence infini, la fonction exponentielle est continue dans tout \(C\). La somme de sa série dérivée est égale à elle-même.