Relation fonctionnelle
La propriété caractéristique fondamentale (qui est une des définitions possibles) de la fonction exponentielle sur \(R\), est de vérifier la relation fonctionnelle : \(\forall x_1\in R, \forall x_2\in R, \exp{(x_1+x_2)}=\exp{(x_1)}\exp{(x_2)}\).
C'est la seule application définie sur \(R\) qui vérifie la relation précédente et qui vaut 1 pour \(x = 0\).
Les propriétés des séries entières permettent de montrer que l'exponentielle vérifie cette relation dans \(C\).
Théorème :
La fonction exponentielle vérifie dans \(C\) la relation fonctionnelle :
\((*)\) \(\forall z_1\in C, \forall z_2\in C, \exp{(z_1+z_2)}=\exp{(z_1)}\exp{(z_2)}\).
Preuve :
Soit \(w_n\) le terme général de la série produit des séries \(\sum\frac{z_1^n}{n!}\) et \(\frac{z_2^n}{n!}\). On a :
\(\forall z_1\in C, \forall z_2\in C, w_n=\displaystyle\sum_{p=0}^{n}\frac{z_1^p}{p!}\frac{z_2^{n-p}}{(n-p)!}=\frac{1}{n!}\displaystyle\sum_{p=0}^n\frac{n!}{p!(n-p)!}z_1^pz_2^{n-p}\),
d'où \(w_n=\frac{1}{n!}(z_1+z_2)^n\).
On applique le théorème concernant le produit des séries à termes complexes.
Conséquences
À partir de la relation fonctionnelle (*), on retrouve certaines propriétés de l'exponentielle réelle.
De l'égalité \(\forall z\in C,\exp{(z-z)}=\exp{(0)}=1\), on déduit : \(\exp{(-z)}=\frac{1}{\exp{z}}\).
On montre par récurrence qu'on a : \(\forall n\in N, \forall z\in C, \exp{(nz)}=(\exp{z})^n\).
En revanche, on ne peut évaluer \((e^{z_1})^{z_2}\), car cette expression n'a pas encore été définie.
Interprétation algébrique
Dans \(R\), la relation (*) exprime que la fonction exponentielle est un homomorphisme du groupe additif R sur le groupe multiplicatif \(R^*_+\): l'image de la somme de deux nombres réels par la fonction exponentielle est le produit des images de ces deux réels.
Cet homomorphisme est
injectif (\(e^{x_1}=e^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2\)) ;
surjectif de \(R\) sur \(R^*_+\)(tout nombre de \(R^*_+\) est image d'un élément de \(R\)).
Dans \(C\) la relation (*) exprime également que la fonction exponentielle est un homomorphisme du groupe additif \(C\) sur le groupe multiplicatif \(C^*\).
La relation fonctionnelle entraîne que, si l'on pose \(z=x+iy\), \((x\in R, y\in R)\), on a : \(\exp{(z)}=\exp{(x)}\exp{(iy)}\).
Pour connaître l'exponentielle sur \(C\), il suffit donc de connaître la fonction : \(R\rightarrow C, x\mapsto\exp{(ix)}\).