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Relation fonctionnelle

La propriété caractéristique fondamentale (qui est une des définitions possibles) de la fonction exponentielle sur , est de vérifier la relation fonctionnelle : .

C'est la seule application définie sur qui vérifie la relation précédente et qui vaut 1 pour .

Les propriétés des séries entières permettent de montrer que l'exponentielle vérifie cette relation dans .

Théorème

La fonction exponentielle vérifie dans la relation fonctionnelle :

.

Preuve

Soit le terme général de la série produit des séries et . On a :

,

d'où .

On applique le théorème concernant le produit des séries à termes complexes.

Conséquences

À partir de la relation fonctionnelle (*), on retrouve certaines propriétés de l'exponentielle réelle.

  1. De l'égalité , on déduit : .

  2. On montre par récurrence qu'on a : .

En revanche, on ne peut évaluer , car cette expression n'a pas encore été définie.

Interprétation algébrique

Dans , la relation (*) exprime que la fonction exponentielle est un homomorphisme du groupe additif R sur le groupe multiplicatif : l'image de la somme de deux nombres réels par la fonction exponentielle est le produit des images de ces deux réels.

Cet homomorphisme est

  • injectif ( ) ;

  • surjectif de sur (tout nombre de est image d'un élément de ).

  • Dans la relation (*) exprime également que la fonction exponentielle est un homomorphisme du groupe additif sur le groupe multiplicatif .

La relation fonctionnelle entraîne que, si l'on pose , , on a : .

Pour connaître l'exponentielle sur , il suffit donc de connaître la fonction : .

Légende :
Apprendre
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