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Périodicité de la fonction exponentielle

On pose, pour :

.

est un nombre de module et d'argument .

On en déduit en particulier l'écriture d'un nombre complexe de module et d'argument sous la forme .

Théorème

L'exponentielle est une fonction périodique de période . Elle réalise un homomorphisme surjectif et non injectif du groupe additif sur le groupe multiplicatif . Le noyau de cet homomorphisme est l'ensemble .

Preuve

La périodicité se déduit immédiatement de la périodicité de la fonction : et l'homomorphisme que constitue l'exponentielle n'est pas injectif.

Montrons que l'homomorphisme est surjectif. Soit un élément de .

On cherche s'il existe un nombre complexe tel que .

On cherche sous la forme : , . On a : et , , d'où et , .

Le caractère non injectif de l'exponentielle est cause de difficultés pour définir la fonction réciproque. Si est donné, il existe une infinité de nombres complexes tels que , ce sont les nombres

.

Dans le logarithme est une fonction multiforme. Comme pour les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques on est amené à choisir une détermination principale, elle correspond au cas .

Applications
  1. Étude de l'application de dans

    Soit un nombre complexe. L'application de dans , est définie, pour tout réel, par l'égalité : .

    Il s'agit d'une fonction de variable réelle et des propriétés des séries entières on déduit, en dérivant terme à terme :

    Cette propriété présente un grand intérêt pratique dans la recherche des primitives des fonctions de la forme : et

    . Ces fonctions sont respectivement partie réelle et partie imaginaire de la fonction : . Cette propriété est utilisée dans la résolution des équations différentielles, l'intégration est immédiate.

  2. Fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes

    On pose, pour tout complexe,

    et .

    Le rayon de convergence de ces séries entières est infini. Elles convergent normalement donc uniformément sur tout disque fermé de , et plus généralement sur toute partie bornée de .

    On a, de façon évidente, pour tout appartenant à , et .

    Les propriétés de linéarité concernant la somme des séries entières entraînent :

    et , ou encore

    et .

    Les formules d'Euler restent valables dans , ainsi que l'égalité : .

    On a, de même,

    et

    qui entraînent : .

    Les formules de Moivre restent également valables dans ,

    et , ainsi que les formules d'addition établies dans .

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