Périodicité de la fonction exponentielle

On pose, pour \(z\in C, z= x+iy, (x\in R, y\in R)\):

\(\exp{(x+iy)}=\exp{x}\exp{(iy)}=\exp{x}(\cos{y}+i\sin{y})\).

\(e^x\) est un nombre de module \(e^x\) et d'argument \(y+2k\pi (k\in Z)\).

On en déduit en particulier l'écriture d'un nombre complexe de module \(r\) et d'argument \(\theta\) sous la forme \(re^{i\theta}\).

Théorème

L'exponentielle est une fonction périodique de période \(2i\pi\). Elle réalise un homomorphisme surjectif et non injectif du groupe additif \(C\) sur le groupe multiplicatif \(C^*\). Le noyau de cet homomorphisme est l'ensemble \(2i\pi Z\).

Preuve

La périodicité se déduit immédiatement de la périodicité de la fonction : \(x\mapsto e^{ix}\) et l'homomorphisme que constitue l'exponentielle n'est pas injectif.

Montrons que l'homomorphisme est surjectif. Soit \(Z\) un élément de \(C^*\).

On cherche s'il existe un nombre complexe \(z\) tel que \(e^x=Z\).

On cherche \(z\) sous la forme : \(z=x+iy\), \((x\in R, y\in R)\). On a : \(e^x=|Z|\) et \(y=\arg{Z}+2k\pi\), \(k\in Z\), d'où \(x=\ln{|Z|}\) et \(y=\arg{Z}+2k\pi\), \(k\in Z\).

Le caractère non injectif de l'exponentielle est cause de difficultés pour définir la fonction réciproque. Si \(Z\) est donné, il existe une infinité de nombres complexes \(z\) tels que \(e^z= Z\), ce sont les nombres

\(\ln|Z|+i\arg{Z}+2ik\pi, k \in Z\).

Dans \(C\) le logarithme est une fonction multiforme. Comme pour les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques on est amené à choisir une détermination principale, elle correspond au cas \(k = 0\).

Applications

  1. Étude de l'application de \(R\) dans \(C\) \(x\mapsto e^{mx}, m\in C\)

    Soit \(m\) un nombre complexe. L'application de \(R\) dans \(C\), \(x\mapsto e^{mx}\) est définie, pour tout \(x\) réel, par l'égalité : \(e^{mx}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{m^nx^n}{n!}\).

    Il s'agit d'une fonction de variable réelle et des propriétés des séries entières on déduit, en dérivant terme à terme :

    \((e^{mx})^l=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{m^nx^{n-1}}{(n-1)!}=m\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{m^{n-1}x^{n-1}}{(n-1)!}=me^{mx}\)

    Cette propriété présente un grand intérêt pratique dans la recherche des primitives des fonctions de la forme : \(x\mapsto e^{\alpha x}\cos{(\beta x)}\) et \(x\mapsto e^{\alpha x}\sin{(\beta x)}\)

    \((\alpha\in R, \beta \in R)\). Ces fonctions sont respectivement partie réelle et partie imaginaire de la fonction : \(x\mapsto e^{(\alpha+i\beta)x}\). Cette propriété est utilisée dans la résolution des équations différentielles, l'intégration est immédiate.

  2. Fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes

    On pose, pour tout \(z\) complexe, \(\cos{z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\) \(\sin{z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

    et \(chz=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\) \(shz=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\).

    Le rayon de convergence de ces séries entières est infini. Elles convergent normalement donc uniformément sur tout disque fermé de \(C\), et plus généralement sur toute partie bornée de \(C\).

    On a, de façon évidente, pour tout \(z\) appartenant à \(C\), \(\cos{z}=ch(iz)\) et \(\sin{z}=\frac1i sh(iz)\).

    Les propriétés de linéarité concernant la somme des séries entières entraînent :

    \(\cos{z}+i\sin{z}=e^{iz}\) et \(\cos{z}-i\sin{z}=e^{-iz}\), ou encore

    \(\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\) et \(\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\).

    Les formules d'Euler restent valables dans \(C\), ainsi que l'égalité : \(\cos^2{z}+\sin^2{z}=1\).

    On a, de même,

    \(chz=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\) et \(shz=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\)

    qui entraînent : \(ch^2z-sh^2z=1\).

    Les formules de Moivre restent également valables dans \(C\),

    \((\cos{z}+i\sin{z})^n=e^{inz}=\cos{nz}+i\sin{nz}\) et \((chz+shz)^n=e^{nz}=chnz +sh nz\), ainsi que les formules d'addition établies dans \(R\).