Exponentielle complexe

L'image de la droite réelle par la fonction exponentielle imaginaire, c'est-à-dire la fonction : \(R\rightarrow C, x\mapsto e^{ix}\), est le cercle unité \(U\), ensemble des nombres complexes de module 1.

Pour tout \(n\) entier et tout \(z\) de \(C\), on a \(\overline{z}^n=\overline{z^n}\), d'où si \(s_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}\), \(s_n(\overline{z})=\overline{s_n(z)}\) et donc \(\exp{\overline{z}}=\overline{\exp{z}}\).

On en déduit, pour tout \(x\) réel, \(e^{-ix}=\overline{e^{ix}}\). Compte tenu de l'égalité : \(e^{ix}e^{-ix}=1\), on déduit \(|e^{ix}|=1\).

En utilisant les propriétés de la somme des séries entières, on obtient, pour tout \(x\) réel,

\(e^{ix}+e^{-ix}=2\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) et \(e^{ix}-e^{-ix}=2i\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\),

d'où les égalités : \(e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\) et \(e^{-ix}=\cos{x}-i\sin{x}\)

et les formules \(\cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\) et \(\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\).

L'application : \(R\rightarrow U=\{z\in C; |z|=1\}\), \(x\mapsto e^{ix}\), est un homomorphisme du groupe additif \(R\) sur le groupe multiplicatif \(U\). Le noyau de cet homomorphisme est l'ensemble \(2\pi Z\).

L'homomorphisme se traduit par l'égalité :

\(\exp{(i(x_1+x_2))}=\exp{(ix_1)}\exp{(ix_2)}\).

Le noyau de cet homomorphisme est l'ensemble des réels \(x\) tels que \(e^{ix}=1\).

L'égalité \(e^{ix}=1\) équivaut à l'ensemble des égalités \(\cos{x}=1\) et \(\sin{x}=0\), c'est-à-dire à la propriété pour \(x\) d'appartenir à l'ensemble \(2\pi Z\).