Définition
Définition : Convergence simple d'une suite de fonctions
On dit qu'une suite de fonctions (\(f_{n}\)) converge simplement sur \(E\) si, pour tout \(x\) de \(E\) , la suite numérique \(\Big( f_{n}(x) \Big)\) est convergente dans \(F\).
Exemple : Exemple 4
\((f_{n})_{n \in \mathbb{N*}} \quad fn:~~x \mapsto n \sin{\bigg(\frac{x}{n} \bigg)} \\\)
\(x_{D} = 0\) \(\begin{array}{l}f_{n}(0) = 0 \\\underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) = 0 \\\end{array}\)
\(x_{D} \neq 0\) \(\begin{array}{l}f_{n} (x_{D}) = n \sin{\big( \frac{x_{D}}{n} \big)} \\ \\\sin{\big(\frac{x_{D}}{n} \big)}~~~~\overset{\backsim}{n \mapsto +\infty}~~~~\frac{x_{D}}{n} \\ \\n \sin{\big(\frac{x_{D}}{n} \big)}~~~~\overset{\backsim}{n \mapsto +\infty}~~~~x_{D} \\ \\\overset{\textrm{lim}}{n \rightarrow +\infty}~~f_{n}(x_{D}) = x_{D}\end{array}\)
Donc, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \(\Big( f_{n}(x) \Big)\) converge, la suite de fonctions \((f_{n})\) converge simplement sur \(\mathbb{R}\).
Si (\(f_{n}\)) converge simplement sur \(I\), pour tout \(x\) de \(I\), \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x)\) est unique ; on note ce nombre \(f(X)\) et on définit ainsi une fonction \(f : \begin{array}{l c l} l & \rightarrow & F \\ x & \mapsto & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~~ f_{n}(x) \end{array}\)
Définition : Limite simple d'une suite de fonctions
Lorsque la suite (\(f_{n}\)) converge simplement sur \(I\), alors la fonction \(f\) définie, pour tout \(x \in I\) , par \(f(x) = \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}}~~fn(x)\) est appelée « limite simple sur \(I\) » de la suite de fonctions (\(f_{n}\)).
On note : \((f_{n}) \underset{l}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} f\)
Remarque :
En général, on ne connaît pas d'avance la fonction \(f\) . On la construit point par point en étudiant la limite de \(\Big( f_{n}(X) \Big)\).