Étude d'exemples
Exemple : Reprenons l'exemple 1
\(f_{n} : \begin{array} {|lll} \mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & f_{n}(x) = \frac{2nx^{2} - 1}{nx + x^{2}} \end{array}\)
La fonction limite \(f\) est définie par
\(f:\begin{array}{|lll} \mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f(x) = 2x \\\end{array}\)
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\(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = 2x \quad f : \left\{ \begin{array}{l l l} \mathbb{R}_{+}^{*} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \rightarrow & f(x) = 2x \end{array} \right.\)
\((f_{n}) \overset{\textrm{CVS}}{\underset{\mathbb{R}_{+}^{*}}{\rightarrow}} ( x \mapsto 2x )\)
Exemple : Reprenons l'exemple 4
\((f_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}} \qquad f_{n} : x \mapsto n~sin{~\Bigg(~\frac{x}{n}~\Bigg)}\)
La fonction limite \(f\) est définie par
\(f : x \mapsto f(x) = x\)
\(\left\{ x \neq 0 \begin{array}{l} \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = x \\ \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) = 0 \end{array} \right.\)
\((f_{n}) \underset{\mathbb{R}}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} (x \mapsto x)\)
Exemple : Reprenons l'exemple 3
\(n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|c l l}]-1, 1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f_{n}(x) = x^{n} \\\end{array}\)
La fonction limite \(f\) est définie par
\(f : \left\{ \begin{array}{l l} f(x) = 0 & \textrm{si}~~-1 < x < 1 \\ f(1) = 1 & \\\end{array} \right.\)
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\(|x| < 1 \qquad \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}}{x^{n}} = 0\)
\(x = 1 \qquad \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}}{1^{n}} = 1\)
\(|x| > 1 \qquad (x^{n})\) diverge
\(x = -1 \qquad (x^{n})\) diverge
Donc, (\(f_{n}\)) ne converge pas simplement sur \(\mathbb{R}\).
En revanche, (\(f_{n}\)) converge simplement sur ] -1 ; 1] vers la fonction f définie par \(f : \Bigg\{ \begin{array}{l l} f(x) = 0 & si~x~\neq~1 \\ f(1) = 1 \end{array}\)
La suite (\(f_{n}\)) converge simplement sur ]-1 ; 1] vers la fonction nulle. On voit donc l'importance de l'intervalle ou du domaine sur lequel on étudie la convergence simple.
Attention :
La convergence simple dépend en général de l'intervalle de définition de la suite (\(f_{n}\)).
Exemple : Exemple 5
\(n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l} \mathbb{R}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l} n^{2}x~~si~~x \leq \frac{1}{n} \\ sinon~~\frac{1}{x} \end{array} \right. \end{array}\)
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\(x_{0} \neq 0\)
\(\underset{n \rightarrow +\infty}{lim} f_{n}(x_{D}) = \frac{1}{x_{D}}\) car, lorsque \(n \rightarrow +\infty\), pour \(x_{0}\) fixé, il existe \(n_{0}\) dans \(\mathbb{N}\) tel que \(x_{0} > \frac{1}{n_{0}}\) car la suite \(\Bigg( \frac{1}{n} \Bigg)\) tend vers 0 ; alors, pour tout \(n \geq n_{0}\), on a \(x_{0} > \frac{1}{n}\) donc \(f_{n}(x_{0}) = \frac{1}{x_{D}}\).
La suite \(\Big( f_{n}(x_{0}) \Big)\) est donc stationnaire à partir de \(n_{0}\).
\(x_{0} = 0\)
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\),\( f_{n}(0) = 0\), donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) = 0\)
\((f_{n}) \underset{\mathbb{R}_{+}}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} f : \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{x} \quad si~x \neq 0 \\ \\ f(0) = 0 \end{array} \right.\)
Exemple : Exemple 6
\(n \in \mathbb{N} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \frac{nx^{2}}{n + 1 + x^{4}} + \frac{1}{n} \end{array}\)
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\(\forall x \in \mathbb{R}, \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \Bigg( \frac{nx^{2}}{n + 1 + x^{4}} + \frac{1}{n} \Bigg) = x^{2} ; \big( f_{n} \big) \underset{\mathbb{R}}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} ( x \mapsto x^{2} )\)
Exemple : Exemple 7
\(n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l l} -1 & si~~~x < -\frac{1}{n} \\ \\ \sin{\big( n \frac{\pi}{2} x \big)} & si~~|x| \leq \frac{1}{n} \\ \\ 1 & si~~~x > \frac{1}{n} \end{array} \right. \end{array}\)
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\(\begin{array}{l l} x < 0 & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = -1 \\ x = 0 & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) = 0 \\ x > 0 & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = 1 \end{array}\)
Exemple : Exemple 8
\(n \in \mathbb{N}^{*} - {1} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l} [0 ; 1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l l} n^{2}x & si~~x \in \big[0 ; \frac{1}{n} \big[ \\ \\ 2n - n^{2}x & si~~x \in \big[ \frac{1}{n} ; \frac{2}{n} \big[ \\ \\ 0 & si~~x \in \big] \frac{2}{n} ; 1 \big] \end{array} \right. \end{array}\)
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\(x_{0} = 0 \)
\(f_{n}(0) = 0\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) ;
\(x_{0} \in ]0 ; 1]\)
il existe \(n_{0}\) dans \(\mathbb{N}^{*}\) tel que \(\frac{2}{n} < x_{0}\) car la suite \(\Bigg(\frac{2}{n}\Bigg)\) tend vers 0. Alors, pour tout \(n \geq n_{0}\), \(\frac{2}{n} < x_{0}\). Donc, \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x_{D}) = 0\).
\((f_{n})~\overset{\textrm{CVS}}{\underset{[0 ; 1]}{\rightarrow}}~\overset{\sim}{0}\)