Exercice 4
Partie
Question
Considérons le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x'& = & x/2+3y/2+t \\ y'& = & 3x/2+y/2 \end{array}\right.}\)
Montrer que chacune des fonctions \(X(t) = x(t) + y(t)\) et \(Y(t) = x(t) - y(t)\) est solution d'une équation linéaire du premier ordre.
Résoudre ces deux équations, et en déduire les solutions du système initial.
Solution détaillée
Si on pose \(X= x+y\), alors
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}X' & = & x'+y'= (x/2+3y/2+t)+(3x/2+y/2) \\ & = & 2x+2y+t=2X+t \end{array}}\)
et si on pose \(Y = x - y\), alors
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}Y' & = & x'-y'= (x/2+3y/2+t)-(3x/2+y/2) \\ & = & -x+y+t=-Y+t \end{array}}\)
On obtient deux équations linéaires à coefficients constants, avec second membre, l'une en \(X\), l'autre \(Y\).
On peut les résoudre séparément :
L'équation \(X'=2X+t\) a pour solutions \(X=Ke^{2t}-t/2-1/4\) ( \(K\) constante réelle arbitraire) et l'équation \(Y'=-Y+t\) a pour solutions \(Y=He^{-t}+t-1\) ( \(H\) constante réelle arbitraire).
Remarque : dans chaque cas, le "second membre" étant un polynôme de degré 1 en \(t\), on a cherché une solution particulière de la forme \(at + b\) .
Comme \(X=x+y,Y=x-y,\) on a \(x=\frac{1}{2}(X+Y),y=\frac{1}{2}(X-Y)\)
Soit finalement
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & \frac{1}{2}(K\textrm{exp}(2t)+H\textrm{exp}(-t)+\frac{t}{2}-\frac{5}{4}) \\ y(t) & = & \frac{1}{2}(K\textrm{exp}(2t)-H\textrm{exp}(-t)-\frac{3t}{2}+\frac{3}{4})\end{array}\right.}\)