Exercice 9
Partie
Question
Ecrire (en coordonnées cartésiennes) le système du 1er ordre dont l'écriture vectorielle dans le plan \(R^2\) privé de l'origine est
\(X''=-K\frac{X}{||X||^3}\)
(attraction centrale de module inversement proportionnel au carré de la distance)
Solution détaillée
Soit \(X=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}x \\ y \\ z\end{array}\right)}\), alors \displaystyle{\frac{X}{||X||^3}=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\left(\begin{array}{cccccc}x \\ y \\ z\end{array}\right)}
donc le système s'écrit
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x''=-\frac{Kx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ y''=-\frac{Ky}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ z''=-\frac{Kz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\end{array}\right.}\)
Ce système du second ordre se ramène à un système du premier ordre en introduisant 3 nouvelles variables \(u, v, w\).
On obtient le système de dimension 6 :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & u \\ y' & = & v \\ z' & = & w \\ u' & = & -\frac{Kx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ v' & = & -\frac{Ky}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ w' & = & -\frac{Kz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\end{array}\right.}\)