Tracé du portrait de phases : Isoclines et régionnement

Il s'agit toujours d'un système différentiel autonome de dimension 2, donc de la forme

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=f(x,y) \\ y'=g(x,y)\end{array}\right.}\)

Le champ de vecteurs associé au système n'est en général pas facile à tracer, à la main en tout cas. Nous allons présenter des techniques permettant d'en prévoir assez simplement quelques propriétés essentielles.

DéfinitionIsoclines horizontale

On appelle isocline horizontale l'ensemble \(I\) des points \((x,y)\) tels que \(g(x, y) = 0\).

Soit \(M\) un point de \(I\) ; si \(M\) n'est pas un point stationnaire, en ce point on a \(f(x,y) \neq 0\). La trajectoire passant par \(M\) a une tangente horizontale. Elle est parcourue de gauche à droite si \(f ( x, y) > 0\), de droite à gauche si \(f (x, y) < 0\).

L'ensemble \(I\) est constitué en général d'une ou de plusieurs courbes, qui partagent le plan en régions dans lesquelles le signe de \(g(x,y)\) reste constant.

DéfinitionIsocline verticale

On appelle isocline verticale l'ensemble \(J\) des points \((x,y)\) tels que \(f(x, y) = 0\).

Soit \(M\) un point de \(J\) ; si \(M\) n'est pas un point stationnaire, en ce point on a \(g(x,y)\neq0\). La trajectoire passant par \(M\) a une tangente verticale. Elle est parcourue de bas en haut si \(g( x, y) > 0\), de haut en bas si \(g(x, y) < 0\).

L'ensembe \(J\) est constitué en général d'une ou de plusieurs courbes, qui partagent le plan en régions dans lesquelles le signe de \(f(x,y)\) reste constant.

Quand on trace à la fois \(I\) et \(J\), on partage le plan en régions qui sont de quatre types :

  • régions où \(f\) et \(g\) sont positifs : dans cette région les trajectoires se dirigent, pour \(t\) croissant, vers le haut et la droite ;

  • régions où \(f\) est positif et \(g\) négatif : les trajectoires se dirigent vers le bas et la droite ;

  • régions où \(f\) est négatif et \(g\) positif : les trajectoires se dirigent vers la gauche et le haut ;

  • régions où \(f\) et \(g\) sont négatifs : les trajectoires se dirigent vers le bas et la gauche.

A ce stade, on peut déjà avoir une idée du portrait de phase en traçant des "trajectoires" compatibles avec ces renseignements.

De plus, les points stationnaires[1] se trouvent à l'intersection de \(I\) et de \(J\).

Le comportement des trajectoires au voisinage des points stationnaires est particulièrement intéressant. Il sera étudié par la suite. Remarquons déjà qu'un nombre quelconque (souvent une infinité) peuvent converger (pour \(t\) tendant vers \(+\infty\)) vers ce point critique, où an contraire en provenir (pour \(t\) tendant vers \(-\infty\)).

Le tableau ci-dessous présente les différents cas, avec un code de couleurs qui sera utilisé dans l'animation qui suit.

Dans l'animation ci-dessous, choisissez un système, puis sélectionnez une présentation (signe de \(x'\), ou signe de \(y'\), ou combinaison des deux) puis cliquez sur la figure pour démarrez une trajectoire. Vérifiez qu'elle a bien le comportement attendu dans chaque région qu'elle traverse. Les isoclines horizontales et verticales apparaissent comme frontières entre les zones colorées.