Tracé du portrait de phases : Points stationnaires [Portraits de phase et points stationnaires]

Tracé du portrait de phases : Points stationnaires

Considérons un système non linéaire en dimension 2

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=f(x,y) \\ y'=g(x,y)\end{array}\right.}\)

vérifiant les hypothèses du théorème d'existence et d'unicité.

On rappelle qu'on appelle point stationnaire^[1] un point \(M(x0,y0)\) tel que \(f(x0,y0) = 0\) et \(g(x0,y0) = 0\) : la solution passant par un tel est la solution constante \(x(t) = x0\), \(y(t) = y0\).

Les points stationnaires sont à l'intersection de l'isocline horizontale et de l'isocline verticale.

Exemple : Exemple 1

Les points stationnaires du système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=y^2-x \\ y'=x-2y+3\end{array}\right.}\)

sont \(A(9, 3)\) et \(B(1, -1)\).

On remarque qu'au voisinage de \(A\), les trajectoires se comportent comme celles d'un système linéaire présentant un co^[2]l, alors qu'au voisinage de \(B\), elles se comportent comme celles d'un système linéaire présentant un foyer^[3].

Exemple : Exemple 2

Les points stationnaires du système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=\sin x \\ y'=2\sin y\end{array}\right.}\)

sont les points de coordonnées \((x=k\pi,y=m\pi)\) où \(k\) et \(m\) sont des entiers. Ces points sont aux sommets d'un quadrillage régulier du plan.

On remarque que le dessin des trajectoires autour de ces points stationnaires ressemble, localement, pour certains à celui d'un col^[2], pour les autres à celui d'un noeud^[4].

Vous pouvez voir, dans la partie OBSERVER, comment on peut prévoir dans la plupart des cas l'allure des trajectoires d'un système quelconque au voisinage d'un de ses points critiques.

Notes

Point stationnaire
Soit un système différentiel autonome de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccc}x'_1 & = & f_1(x_1,...,x_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & f_n(x_1,...,x_n) \end{array}\right.}\)
Un point stationnaire de ce système est un point \(M=(a_1,...,a_n)\) de \(R^n\) tel que
\(f_1(a_1,...,a_n)=...=f_n(a_1,...,a_n)=0\)
La fonction constante qui à tout \(t\) associe le point \(M\) est une solution du système : le point \(M\) est donc une trajectoire à lui tout seul.
Col
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un col si les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\)
sont réelles non nulles, de signes opposés.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un col si le linéarisé du système au point \(M\) possède un col à l'origine.
Foyer
Etant donné un système linéaire de dimension 2 de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un foyer si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres complexes conjuguées, qui ne sont ni réelles, ni imaginaires pures.
On dit que le foyer est attractif si la partie réelle commune des deux valeurs propres est négative, répulsif si cete partie réelle est positive. Les trajectoires sont des spirales autour de l'origine \(O\), parcourues vers \(O\) si le foyer est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un foyer si le linéarisé du système au point \(M\) possède un foyer à l'origine.
Noeud
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un noeud si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres réelles non nulles de même signe.
On dit que le noeud est attractif si les valeurs propres sont négatives, répulsif si elles sont positives. Les trajectoires sont parcourues vers \(O\) si le noeud est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un noeud si le linéarisé du système au point \(M\) possède un noeud à l'origine.