Dipôles en parallèle
Durée : 10 mn
Note maximale : 12
Question
Un générateur de f.é.m. \(E = 60 \mathrm{ V}\) et de résistance interne \(r\) est relié aux bornes de trois dipôles montés en parallèle, dont les résistances ont pour valeurs \(R_1= 12 \mathrm{ } \Omega\), \(R_2= 20 \mathrm{ } \Omega\) , \(R_3= 30 \mathrm{ } \Omega\). Le courant débité par le générateur a pour intensité \(I = 8 \mathrm{ A}\).
Calculer la puissance dissipée dans chacun des trois dipôles, et la puissance utile fournie par le générateur.
En déduire la valeur de \(r\).
Solution
Le montage étudié est un diviseur de courant ; l'intensité dans chaque branche est proportionnelle à sa conductance. (1 pt)
D'où :
\(\displaystyle{P_1 = R_1 .(I_1)^2 = R_1 .I^2 \left( \frac{G_1}{G_1 + G_2 + G_3} \right) ^2 = R_1 .I^2 \left( \frac{R_2 . R_3}{R_1 . R_2 + R_2 . R_3 + R_3 . R_1} \right)^2 = \mathrm{192,0 W} }\) (2 pts)
\(\displaystyle{P_2 = R_2 .(I_2)^2 = R_2 .I^2 \left( \frac{G_2}{G_1 + G_2 + G_3} \right)^2 = R_2 .I^2 \left( \frac{R_3 . R_1}{R_1 . R_2 + R_2 . R_3 + R_3 . R_1} \right)^2 = \mathrm{115,2 W} }\) (2 pts)
\(\displaystyle{P_3 = R_3 .(I_3)^2 = R_3 .I^2 \left( \frac{G_3}{G_1 + G_2 + G_3} \right)^2 = R_3 .I^2 \left( \frac{R_1 . R_2}{R_1 . R_2 + R_2 . R_3 + R_3 . R_1} \right)^2 = \mathrm{76,8 W} }\) (2 pts)
La puissance utile fournie par le générateur est :
\(P_u = P_1 + P_2 + P_3 = 384 \mathrm{ W}\) (1 pt)
La puissance totale fournie par le générateur est :
\(P_{\mathrm{tot}} = E.I = 480 \mathrm{ W}\) (1 pt)
Et la puissance dissipée par effet Joule est :
\(P_j = P_{\mathrm{tot}} - P_u = r.I^2\) (1 pt)
D'où : \(\displaystyle{ r = \frac{P_{\mathrm{tot}} - P_u}{I^2} = \mathrm{1,5 } \Omega }\) (2 pts)