Notion de champ. Définition

Champs

Lorsque, dans une partie de l'espace, existe en chaque point une propriété vectorielle (respectivement scalaire) qui n'est fonction que de ce point, et éventuellement du temps, on dit que dans cette partie d'espace règne un champ vectoriel (respectivement champ scalaire).

Dans ce qui va suivre on ne considère que des champs indépendants du temps.

L'application qui, à tout point \(M\) d'une partie de l'espace physique fait correspondre un vecteur d'un espace \(\vec V\) vectoriel réel à trois dimensions, est appelée champ de vecteurs.

\(\forall M\in I\subset A\to\vec V(M)\in R^3\)

En coordonnées cartésiennes : à tout point \(M(x,y,z)\) correspond la fonction vectorielle \(\overrightarrow{V(M)}\) de composantes : \(X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z)\).

Remarque

Les interactions de systèmes matériels de type électrostatique ou gravitationnelle sont représentées par des champs de vecteurs appelés champs de forces.

Le champ résultant de plusieurs types d'interactions est la superposition des champs créés par chacune d'elles.

L'application qui, à tout point \(M\) d'une partie de l'espace physique fait correspondre un scalaire \(U(M)\) est appelée champ scalaire.

\(\forall M\in I\subset A\to\vec V(M)\in R\)

La température, la pression en un point sont des champs scalaires.

Remarque

En coordonnées cylindriques :

  • à tout \(M(\rho, \Phi, z)\) correspond la fonction vectorielle \(\vec V:(\rho,\Phi,z)\to\vec V(\rho,\Phi,z)\) de composantes \(V_\rho(\rho, \Phi, z), V_\Phi(\rho, \Phi, z), V_z(\rho, \Phi, z)\) ;

  • pour le champ scalaire : à tout \(M(\rho, \Phi, z)\in I\wp\mathbf R^3 \emptyset M(\rho, \Phi, z)\in \mathbf R\)

Lignes de champs

Pour un champ de vecteurs, une ligne de champ est une courbe tangente en tous ses points au vecteur champ.

lignes de champs

Exemple

Pour un champ uniforme dont la valeur \(\overrightarrow{V(M)} = \vec C\) est indépendante du point, les lignes de champ sont des droites parallèles à \(\vec V\).