Vecteur Gradient
Dénifition
Définition :
La différentielle d'une fonction scalaire du point \(M(x,y,z)\), \(\phi\), s'exprime en fonction des dérivées partielles : \(d\phi(x, y, z) = \frac{\partial\phi}{\partial x}dx+\frac{\partial\phi}{\partial y}dy+\frac{\partial\phi}{\partial z}dz\)
Cette expression est analogue à celle du produit scalaire du vecteur de composantes \(dx,dy, dz\) et du vecteur de composantes \(\frac{\partial\phi}{\partial x}, \frac{\partial\phi}{\partial y}, \frac{\partial\phi}{\partial z}\)
Par définition, on appelle gradient de \(\phi\) en \(M\), et on le note : \(\overrightarrow{grad\phi}(M)\), le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de \(\phi\) calculées au point \(M\)
En coordonnées cartésiennes : \(\overrightarrow{grad\phi}(M)=\Big(\frac{\partial\phi}{\partial x}\Big)_M\vec i+\Big(\frac{\partial\phi}{\partial y}\Big)_ M\vec j+\Big(\frac{\partial\phi}{\partial z}\Big)_M\vec k\)
En coordonnées cylindriques : le gradient s'écrit sous la forme \(\overrightarrow{\textrm{grad}\phi}(M)=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\overrightarrow{u_\rho}+\frac1\rho\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\overrightarrow{u_\theta}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\vec k\)
L'expression de \(d\phi\) que nous avons donnée s'écrit alors : \(d\phi = \overrightarrow{grad\phi}.\overrightarrow{dM}\)
Ce vecteur \(\overrightarrow{grad\phi}(M)\) est donc un vecteur associé au point \(M\), fonction de ce point.
Remarque :
Lorsque le champ \(F(\vec M)\) de gradients est une force , \(\phi\) est appelée fonction de forces. On utilise généralement la fonction énergie potentielle \(U\), opposée de \(\phi : U = - \phi\) ; on retrouve alors la relation : \(F(\vec M).\overrightarrow{dM}=-dU\)
Champ gradient
Lorsqu'un champ \(\vec{V(M)}\) dérive d'un potentiel, la relation ci-dessus donne en coordonnées cartésiennes :
\(V_x d_x+V_y d_y+V_z d_z=-\frac{\partial U}{\partial x}dx -\frac{\partial U}{\partial y} dy - \frac{\partial U}{\partial z} dz\)
Ce qui est équivalent à : \(-\frac{\partial U}{\partial x}=V_x,-\frac{\partial U}{\partial y}=V_y,-\frac{\partial U}{\partial z}=V_z\)
Lorsqu'un champ \(\vec V(M)\) dérive d'un potentiel scalaire \(U\), il est l'opposé du gradient de la fonction potentiel \(U\).
On l'appelle quelquefois champ gradient.
Propriétés du gradient
Soient la surface équipotentielle \(U(x,y,z) = K , M\) un point de cette surface équipotentielle et soit \(\overrightarrow{dM}=\overrightarrow{MM'}\) un déplacement élémentaire quelconque.
Si \(M'\) est aussi sur l'équipotentielle \(dU=\overrightarrow{grad}U.\overrightarrow{dM}=0\)
le gradient en \(M\) de \(U\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{dM}\) : le gradient est normal à l'équipotentielle.
Si \(\overrightarrow{dM}=\overrightarrow{MM'}\) est perpendiculaire à l'équipotentielle, dans le sens des potentiels croissants, \(dU > 0\) et \(dU=\overrightarrow{grad}U.\overrightarrow{dM}>0\)
Le vecteur gradient est normal en \(M\) à la surface \(U(x,y,z) = K\) et dirigé dans le sens des potentiels croissants.
Il a pour longueur \(\frac{dU}{d\ell}\), dérivée normale de \(U\).