Condition pour qu'un champ dérive d'un potentiel. Rotationnel.
Il est équivalent de dire qu'un champ dérive d'un potentiel ou que ce champ est un gradient.
La condition pour qu'un champ dérive d'un potentiel est donc aussi bien la condition pour qu'un vecteur champ soit un vecteur gradient.
En coordonnées cartésiennes, \(\vec V=-\overrightarrow{grad}U(M)\) s'écrit \(-\frac{\partial U}{\partial x}=V_x \), \(-\frac{\partial U}{\partial y}=V_y\) et \(-\frac{\partial U}{\partial z}= V_z\)
Sous réserve que la fonction potentiel soit deux fois dérivable, ses dérivées croisées sont égales (Conditions de Schwartz ) :
\(\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 U}{\partial z\partial y}=0=\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}=A\)
\(\frac{\partial^2 U}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial z}=0=\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}=B\)
\(\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}=0=\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}=C\)
Par définition, le vecteur dont les composantes sont \(A,B,C\) est le rotationnel de \(\vec V\). On le note \(\overrightarrow{rot}\vec V\)
La condition pour que \(\vec V(M)\) dérive d'un potentiel scalaire \(U\) est \(\overrightarrow{rot}\vec V(M)=\vec 0\)
Remarque :
Pour retrouver sans trop de mal les composantes du rotationnel, et celles du gradient, on introduit parfois un vecteur \(\vec\bigtriangledown\) appelé nabla, opérateur de dérivation symbolique, dont les "composantes" sont : \(\frac\partial{\partial x}\), \(\frac\partial{\partial y}\) et \(\frac\partial{\partial z}\)
Le gradient est alors l'application de nabla à la fonction \(U\) : \(\vec\bigtriangledown : U \rightarrow \vec\bigtriangledown U\)
Le rotationnel s'obtient par le produit vectoriel \(\vec\bigtriangledown\wedge F\)
\(\vec\bigtriangledown : F \rightarrow \vec\bigtriangledown\wedge F\) en coordonnées cartésiennes, on peut facilement retrouver les composantes à l'aide du "déterminant symbolique".