Circulation d'un champ de vecteurs
Définition
Définition :
La circulation du champ de vecteurs \(\overrightarrow{V(M)}\) le long d'une courbe \((\gamma)\), est l'intégrale curviligne \(C = \displaystyle{\int_{(\gamma)}}\overrightarrow{V(M)}.\overrightarrow{dM}\) calculée le long de \((\gamma)\) ; sa valeur dépend en général du chemin suivi.
Circulation d'un champ de vecteurs dans un déplacement fini
On examine ici le cas où le champ de vecteurs dépend du point où on la considère.
Soit \(\vec V\) un champ de vecteurs; on étudie la circulation de\( \vec V\) pour un déplacement \(M_0P\) de valeur finie, sur l'arc de courbe \((\gamma)\) que l'on note \(C^P_{M_{0}}\)
L'arc \(\stackrel{\frown}{M_0P}\) peut s'approcher par un contour polygonal composé d'un grand nombre de parties rectilignes, cordes de petits arcs de \((\gamma)\), soit \(M_0M_1, M_1M_2,..., M_{n-1}P\).
La somme des circulations élémentaires de \(\vec V\) dans chacun des déplacements partiels, en considérant \(\vec V\) comme constant sur chacun d'eux s'écrit :
\(S = \vec V(M_0).\overrightarrow{M_0 M_1}+\vec V(M_1).\overrightarrow{M_1 M_2}+....+\vec V(M_{n-1}).\overrightarrow{M_{n-1}P}\)
S est une approximation de \(C^P_{M_0}\). Pour améliorer cette approximation, on peut diviser l'arc \(\stackrel{\frown}{M_0P}\) en un nombre de plus en plus grand de parties, chacune d'elles tendant vers 0.
Le contour polygonal tend vers \((\gamma)\), chaque élément de contour tend vers \(\overrightarrow{dM}\). A la limite, la somme tend vers l'intégrale curviligne le long de \((\gamma)\) de \(\vec{V(M)}.\overrightarrow{dM}\).
La circulation du champ de vecteurs sur l'arc de courbe \(\stackrel{\frown}{M_0P}\) a pour définition \(C_{\stackrel{\frown}{M_0P}} = \displaystyle{\int_{M_0}^P}\vec{V(M)}.\overrightarrow{dM}\)
En coordonnées cartésiennes, si le champ de vecteurs s'écrit en fonction des composantes \(X, Y, Z\), fonctions scalaires des trois variables \(x, y, z\) :
\(\vec{V(M)}=X(x, y, z)\vec i + Y(x, y, z) \vec j + Z(x, y, z) \vec k\)
La circulation s'exprime alors :
\(C_{\stackrel{\frown}{M_0P}} = \displaystyle{\int_{M_0}^P}X(x, y, z)dx+Y(x, y, z)dy+Z(x, y, z)dz\)
Cette intégrale curviligne est calculée de \(M_0\) en \(P\) suivant l'arc de courbe \((\gamma)\) et dans ce sens.
Remarque :
Si la courbe \((\gamma)\) est définie par les équations paramétriques: \(x = f(u), y = g(u), z = h(u), X,Y,Z,dx,dy,dz\) peuvent s'exprimer en fonction de la seule variable \(u\).
La circulation s'écrit alors : \(C_{\stackrel{\frown}{M_0P}} = \displaystyle{\int_{u_0}^u}\Phi(u)du\)
Le calcul de l'intégrale ci-dessus s'effectue en remplaçant \(x, y, z\) par leurs expressions et en intégrant entre les limites \(u_0\) et u qui correspondent à l'origine et à l'extrémité de l'arc d'intégration \((\gamma)\).
Dans le cas le plus général, la valeur de l'intégrale dépend du contour le long duquel elle est calculée.