Variation du module de la vitesse
Durée : 7 mn
Note maximale : 7
Question
Montrez que la dérivée par rapport au temps du carré de la vitesse, \(\frac{dv^2}{dt}\) peut s'exprimer en fonction des vecteurs vitesse \(\vec{v}\) et accélération \(\vec{a}\).
Sachant que la trajectoire d'un point matériel soumis à l'action du champ de pesanteur est une parabole appartenant au plan vertical contenant le vecteur vitesse \(\vec{v_0}\) à l'instant initial, déterminez les segments de la trajectoire où le point matériel est accéléré ou retardé.
Déterminez la vitesse au(x) point(s) où elle est stationnaire.
Solution
On a \(\frac{dv^2}{dt}=2\vec{v}\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{v}.\vec{a}\)
Par rapport à un repère local \(Oxyz\) lié au référentiel Terre, l'accélération de la pesanteur est
\(\vec{g}(M)=-g\vec{u_z}\) avec \(g>0\)
(2 points)
l'axe \(Oz\) étant dirigé suivant la verticale ascendante.
De l'Equation Fondamentale,\(\vec{F}=m\vec{a}\), on déduit que \(\vec{a}=-g\vec{u_z}\)
(1 point)
Si on appelle \(Oxz\) le plan vertical contenant le vecteur vitesse \(\vec{v_0}\), on a aussi en projetant suivant l'axe \(Ox\):
\(0=m\frac{dv_x}{dt}\) et donc \(v_x=v_{0x}=\vec{v_0}.\vec{u_x}\)
(1 point)
En \(M\), entre \(O\) et \(S\), sommet de la parabole, le produit \vec{v}.\vec{a}<0: la norme de la vitesse diminue et le point matériel est retardé.
(1 point)
A l'inverse,\(\vec{v}.\vec{a}>0\) en \(M'\), entre \(S\) et \(A\) : la norme de la vitesse augmente et le point matériel est accéléré.
(1 point)
Au sommet \(S\) de la parabole, \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) sont perpendiculaires :
la vitesse au point \(S\) est stationnaire et a pour valeur \(v_x = v_{0x}\).
(1 point)