Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

1. La fonction \(\textrm{Argsh }u\) s'exprime sous forme logarithmique par :

\(\textrm{Argsh }u = \ln \left(u + \sqrt{u^{2} + 1}\right) \forall u \in \mathbb{R}\)

d'où

\(f(x) = \textrm{Argsh} \sqrt{x^{2} + 1} = \ln \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1 + 1}\right)\)

\(f(x) = \ln \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right)\) (3pts)

2. Quand \(\arrowvert x\arrowvert \to +\infty\) nous pouvons transformer cette expérience en :

\(f(x) = \ln\left(\arrowvert x\arrowvert \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}} \right)\)

or quand \(\arrowvert x\arrowvert \to + \infty\) les termes en \(1 / x^{2}\) tendent vers zéro et

\(\begin{array}{lll}\displaystyle{\lim_{\arrowvert x\arrowvert \to +\infty} f(x)} &= \displaystyle{\lim_{\arrowvert x\arrowvert \to +\infty} }\ln \left(\arrowvert x\arrowvert \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+ \arrowvert x\arrowvert \sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}\right) \\ &= \ln \left(2\arrowvert x\arrowvert\right) \end{array}\)

donc \(\displaystyle{\lim_{\arrowvert x\arrowvert \to +\infty} f(x)} \sim \ln \arrowvert x\arrowvert\) (3pts)