Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

La fonction \(\textrm{Argth }u\) étant définie pour \(x \in ] -1 ; 1[\), l'équation a des solutions pour

\(x \in ] -1 ; 1[\) ou \(x \in ] -1/2 ; 1/2 [\) (1pt)

Exprimons cette équation à partir des fonctions logarithmes sachant que

\(\textrm{Argth }u = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+u}{1-u}\right) \quad u \in]-1 ;1[\)

d'où

\(\textrm{Argth }x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x}\right)\)

\(\textrm{Argth }2x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+2x}{1-2x}\right)\)

\(\textrm{Argth }\frac{2}{3} = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+2/3}{1-2/3}\right) = \frac{1}{2} \ln 5\)

L'équation devient :

\(\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) + \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+2x}{1-2x}\right) = \frac{1}{2} \ln 5\) (2pts)

\(\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x}\right) \left(\frac{1 + 2x}{1 - 2x}\right) = \ln 5\)

La fonction \(\ln\) étant bijective, nous avons : \(\left( \frac{1 + x}{1 - x}\right) \left(\frac{1 + 2x}{1 - 2x}\right) = 5\) ou

\((1 + x) (1 + 2x) = 5 (1 - x) (1 - 2x)\)

\(1 + 3 x + 2 x^{2} = 5 - 15 x + 10 x^{2}\)

\(4 x^{2} - 9x + 2 = 0\)

Cette équation admet comme solutions \(x_{1} = 1/4\) et \(x_{2} = 2\) (2pts)

Sachant que \(x \in ] -1/2 ; 1/2[\) , la solution est donc \(x_{1} = 1/4\) (1pt)