Question 2
Durée : 10 mn
Note maximale : 6
Question
On suppose que les sources émettent des vibrations synchrones, de mêmes amplitudes \(a_{1} = a_{2} = a_{0}\). Que devient la vibration résultante au point \(M\) ?
Solution
D'après les résultats de la question précédente, la vibration résultante \(y(t) = a \sin (\omega t + \varphi)\) aura pour :
amplitude :
\(a = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} \cos (\varphi_{1} - \varphi_{2})} = 2 a_{0} \left\arrowvert \cos \frac{\varphi_{1} - \varphi_{2}}{2}\right\arrowvert\) (2pts)
phase :
\(\varphi = \textrm{Arctan } \frac{a_{1} \sin \varphi_{1} + a_{2} \sin \varphi_{2}}{a_{1} \cos \varphi_{1} + a_{2} \cos \varphi_{2}}\)
\(\varphi = \textrm{Arctan} \left(\tan \frac{\varphi_{1} + \varphi_{2}}{2}\right) = \frac{\varphi_{1} + \varphi_{2}}{2} ~[\pi]\) (2pts)
sachant que \(\sin \varphi_{1} + \sin \varphi_{2} = 2 \sin \frac{\varphi_{1} + \varphi_{2}}{2} \cos \frac{\varphi_{1} - \varphi_{2}}{2}\) (1pt)
et \(\cos \varphi_{1} + \cos \varphi_{2} = 2 \cos \frac{\varphi_{1} + \varphi_{2}}{2} \cos \frac{\varphi_{1} - \varphi_{2}}{2}\) (1pt)
Le résultat pouvait être obtenu directement par la somme :
\(\begin{array}{lll}y(t) &= y_{1}(t) + y_{2}(t) = a_{0} [\sin (\omega t + \varphi_{1}) + \sin (\omega t + \varphi_{2})]\\& = 2 a_{0} \cos \left(\frac{\varphi_{1} - \varphi_{2}}{2}\right) \sin \left(\omega t + \frac{\varphi_{1} + \varphi_{2}}{2}\right)\end{array}\)
L'amplitude \(a\) dépendant de \(\varphi_{1}\) et \(\varphi_{2}\) doit être positive.