Question 3

Durée : 10 mn

Note maximale : 6

Question

Les sources émettrices de vibration d'amplitude \(a_{1}\) et \(a_{2}\) ne sont plus plus exactement synchrones, mais oscillent à des fréquences voisines \(f_{1}\) et \(f_{2}\) (ou \(\omega_{1}\) et \(\omega_{2}\)).

Nous poserons \(f_{1} = f + df\) et \(f_{2} = f - df\) ou \(\omega_{1} = \omega + \delta \omega\) et \(\omega_{2} = \omega - \delta \omega\)

Montrer que l'élongation résultante au point \(M\) fait apparaître des produits de fonctions trigonométriques de variables \((\delta \omega)t\) et \(\omega\) \(t\).

Quel phénomène observe-t-on quand \(a_{1} = a_{2} = a_{0}\) et \(\delta \omega << \omega\) ?

Solution

Soient les fonctions \(y_{1}(t) = a_{1} \sin \omega_{1}t\) et \(y_{2}(t) = a_{2} \sin \omega_{2}t\) en posant \(\omega_{1} = \omega + \delta\omega\) et \(\omega_{2} = \omega - \delta \omega\) nous obtenons :

\(\begin{array}{lll}y(t) &= y_{1}(t) + y_{2}(t) \\ & = a_{1} \sin (\omega + \delta \omega )t + a_{2} \sin (\omega - \delta \omega)t\\ & =a_{1} [\sin \omega t \cos (\delta \omega)t + \cos \omega t \sin (\delta \omega)t]\\ & ~~+a_{2} [\sin \omega t \cos (\delta \omega)t - \cos \omega t \sin (\delta \omega)t]\end{array}\)

\(y(t) = (a_{1} + a_{2}) \cos (\delta \omega)t \sin \omega t + (a_{1} - a_{2}) \sin (\delta \omega) t \cos \omega t\) (2pts)

Cas particulier : \(a_{1} = a_{2} = a_{0}\) et \(\delta \omega << \omega\)

Lorsque \(a_{1} = a_{2} = a_{0}\) , \(y(t) = 2 a_{0} \cos (\delta \omega)t \sin \omega t\) (2pts)

C'est donc le produit d'une fonction \((\sin \omega t)\) de période courte \(T = 2\pi /\omega\), par une fonction \(\cos(\delta \omega ) t\)  de période longue \(\delta T = 2\pi/\delta \omega\).

La fonction \(y(t)\) oscille donc à la fréquence \(f = \omega / 2\pi\) entre les fonctions \(\pm 2a_{0} \cos(\delta \omega) t\)

Nous sommes en présence d'un phénomène de "Battements" ou interférence entre deux ondes de fréquences voisines. (2pts)

Phénomène de Battements