Question 1

Durée : 5 mn

Note maximale : 4

Question

On considère, pour \(x > 0\) et \(y\neq 0,\) la forme différentielle \(\omega(x,y)=Pdx+Qdy\)où \(P(x,y)=\frac{xy-1}{x}\)et \(Q(x,y)=\frac{1+\ln x}{y}\)

Vérifier que \(\omega (x,y)\) n'est pas exacte.

Solution

\(\omega=Pdx+Qdy\)avec pour \(x > 0\) et \(y\neq 0,\) \(P(x,y)=y-\frac{1}{x}\)et\(Q(x,y)=\frac{1+\ln x}{y}\)

or \(\frac{\delta Q}{\delta x} - \frac{\delta P}{\delta y}=\frac{1}{xy}-1\neq 0\)donc \(\omega\) n'est pas exacte. \(\color{red}\textrm{(4 points)}\)