Physique
Précédent
Suivant
Calculs de longueurs
En coordonnées cartésiennes

La longueur de l'arc de courbe est décomposée en segments élémentaires de longueur

Dans le triangle on a :

Exemple : Longueur d'une chaînette

Calcul de la longueur de la chaînette d'équation comprise entre les points et

Par définition, en coordonnées cartésiennes:

d'où

En coordonnées paramétriques

Quand la courbe est représentée sous forme paramétrique, le calcul du segment élémentaire s'exprime par :

Exemple : Longueur d'une arche de cycloïde

Déterminer la longueur de l'arche de la cycloïde d'équations paramétriques :

Une arche est décrite lorsque varie de à

or

d'où

La longueur de l'arche de la cycloïde devient :

donc

En coordonnées polaires

Comme précédemment, la longueur de l'arc élémentaire est définie par :

Après transformation en coordonnées polaires, nous obtenons :

pour

Exemple : Longueur de la cardioïde

Calcul de la longueur de la cardioïde d'équation

Par définition, en coordonnées polaires :

Pour des raisons de symétries, la longueur totale de la cardioïde sera:

avec

d'où

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)