| Calculs d'aires |
La surface comprise entre la courbe représentative de
l'axe des abscisses
et les droites verticales d'équations
et
est calculée par :
Suivant les valeurs de
sur
nous calculerons l'aire (grandeur physique positive) par les expressions suivantes :
Déterminer l'aire délimitée par les courbes
et
Par définition, l'aire colorée est :
On applique toujours la relation
dans le cas où
avec
et :
Déterminer l'aire comprise entre l'axe des abscisses
et l'arche de la cycloïde d'équations :
et
On prend comme élément d'aire :
les bornes d'intégration étant
et
d'où
La courbe en coordonnées polaires étant notée
on prend pour surface élémentaire
l'aire du triangle
et vaut :
1er cas : Aire d'un secteur dont le sommet est le pôle
2ème cas : Aire d'une courbe fermée ne comprenant pas le pôle
3ème cas : Aire d'une courbe fermée comprenant le pôle
Calcul de l'aire intérieure à la lemniscate de Bernoulli d'équation polaire :
D'après la symétrie de la courbe, l'aire est quatre fois celle de l'aire colorée.
Calcul de l'aire hachurée de la boucle de lemniscate de Bernoulli d'équation
exterieure au cercle d'équation polaire
Aux points d'intersection
et
nous avons:
d'où les solutions:
Par définition l'aire hachurée s'exprime par:
Calcul de l'aire plane intérieure à la cardioïde d'équation polaire :
D'après la définition:
Une surface de révolution est engendrée par la rotation d'une courbe autour d'un axe
ou axe polaire par exemple. L'aire élémentaire
ainsi balayée par l'arc
(ou par la corde
est celle d'un tronc de cône et définie en fonction du système de coordonnées.
L'élément de longueur est donné par
d'où la surface de révolution de
en rotation autour de l'axe
:
Calcul de l'aire de la surface (appelée cathénoïde) engendrée par la rotation de l'arc de la chaînette
autour de l'axe
compris entre les points d'abscisses
et
Par définition:
avec
d'où
L'élément de longueur est donné par:
d'où la surface de révolution de la courbe définie paramétriquement par :
en rotation autour de l'axe
Calcul de l'aire de la surface de révolution engendrée par la rotation de l'arche de la cycloïde autour de l'axe des abscisses.
Par définition:
avec
Les expressions paramétriques des coordonnées de la cycloïde étant:
Nous aurons:
or
donc
D'après la relation de linéarisation:
nous en déduisons:
L'élément de longueur est donné par :
d'où la surface de révolution de la courbe en rotation autour de l'axe polaire:
d'où l'aire totale balayée par l'arc de courbe
:
Calcul de l'aire de la surface engendrée par la rotation de la cardioïde d'équation
autour de l'axe polaire.
Par définition:
avec
et
L'équation polaire de la cardioïde étant :
nous en déduisons:
d'où:
