Calcul d'une somme de deux fonctions sinusoïdales (2)

Durée : 10 mn

Note maximale : 4

Question

Deux tensions sinusoïdales ont même pulsation, même amplitude et des phases à l'origine différentes : \(u_1(t)=2 . \cos(3t)\) et \(\displaystyle{ u_2(t)=2 . \cos \left( 3t-\frac{\pi}{2} \right) }\)

Donner l'expression de la tension \(u(t)=u_1(t)+u_2(t)\) en la mettant sous la forme \(U_m . \cos(3t+\varphi)\)

Solution

Développer \(u_2(t)\) :

\({\displaystyle{ u_2(t) = 2 . \cos (3t) . \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + 2 . \sin (3t) . \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 . \sin (3t) }}\)

\(u(t) = 2 . \cos (3t) + 2 . \sin (3t) = 2 . (\cos (3t) + \sin (3t))\)

\(u(t)\) est de la forme \(2 . (\cos (3t)+\tan \varphi . \sin (3t))\) avec \(\tan \varphi = 1\) d'où \(\displaystyle{ \varphi =\frac{\pi}{4} }\)

\(\displaystyle{ u(t)= 2 . \frac{\cos(3t) . \cos \varphi+\sin (3t) . \sin \varphi}{\cos \varphi} }\)

\(\displaystyle{ u(t) = 2 \sqrt{2} . \cos \left( 3t - \frac{\pi}{4} \right) }\) (4 pts)