Circuit RC
Durée : 6 mn
Note maximale : 4
Question
Montrer que le circuit ci-dessus est un circuit du premier ordre, c'est-à-dire que les tensions d'entrée \(e(t)\) et de sortie \(s(t)\) sont liées par une équation du type :
\(\displaystyle{ \tau . \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} + s(t) = e(t) }\) ,
où \(\tau\) est la constante de temps du circuit.
Exprimer \(\tau\) en fonction des valeurs des composants du circuit.
Sachant que \(R = 100 \mathrm{ } \Omega\), quelle valeur faut-il donner à \(C\) pour avoir une constante de temps de valeur \(\tau = 25 \mathrm{ ns}\) ?
Solution
Les deux résistances en série sont équivalentes à une résistance unique de valeur \(2 . R\) et les deux condensateurs en parallèle, à un condensateur unique de capacité \(2.C\).
Soit \(i(t)\) l'intensité du courant entrant dans le montage. La loi d'additivité des tensions donne : \(e(t) = s(t) + 2 . R . i(t)\).
Compte tenu des expressions de \(i\) et \(s\) en fonction de la charge \(q\) de l'ensemble des deux condensateurs : \(\displaystyle{ i = \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} }\) et \(q = 2 . C . s(t)\),
il vient : \(\displaystyle{ e(t) = 4 . R . C . \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} + s(t) }\) qui est l'équation d'un circuit du premier ordre de constante de temps \(\tau = 4 . R . C\). (3 points)
Application numérique :
\(\displaystyle{ C = \frac{\tau}{4 . R} = \frac{25 . 10^{-9}}{200} = \mathrm{12,5} . 10^{-12} \mathrm{ F}}\) (\(\mathrm{12,5 pF}\)) (1 pt)