Circuit RL
Durée : 6 mn
Note maximale : 4
Question
Montrer que le circuit ci-dessus est un circuit du premier ordre, dans lequel les tensions d'entrée \(e(t)\) et l’intensité \(i(t)\) sont liées par une équation du type :
\(\displaystyle{ \tau . \frac{ \mathrm{d} i }{ \mathrm{d} t } + i(t) = f \big( e(t) \big) }\) ,
où \(\tau\) est la constante de temps du circuit.
Exprimer \(\tau\) en fonction des valeurs des composants du circuit.
On veut donner à \(\tau\) la valeur \(\tau = 30 \mathrm{ ms}\). Calculer la valeur de \(R\), sachant que \(L = 600 \mathrm{ mH}\).
Solution
Les deux bobines en parallèle sont équivalentes à une bobine unique d'inductance \(\displaystyle{ \frac{L}{2} }\) et les deux résistances en parallèle, à une résistance unique de valeur \(\displaystyle{ \frac{R}{2} }\).
Soit \(i(t)\) l’intensité du courant entrant dans le montage. La loi d’additivité des tensions donne :
\(\displaystyle{ e(t) = \frac{L}{2} . \frac{ \mathrm{d} i }{ \mathrm{d} t } + s(t) }\)
Comme la loi d’Ohm appliquée à la sortie donne \(\displaystyle{ s(t) = \frac{R}{2} . i(t) }\), soit \(\displaystyle{ i(t) = \frac{2 . s(t)}{R} }\), il vient : \(\displaystyle{ e(t) = \frac{L}{R} . \frac{ \mathrm{d} s }{ \mathrm{d} t } + s(t) }\)
qui est l’équation d’un circuit du premier ordre de constante de temps \(\displaystyle{ \tau = \frac{L}{R} }\). (3 pts)
Application numérique :
\(\displaystyle{ R = \frac{L}{\tau} = \frac{ 600 . 10^{-3} } { 30 . 10^{-3} } = 20 \mathrm{ } \Omega}\) (1 pt)