Circuit CR
Durée : 6 mn
Note maximale : 4
Question
Montrer que dans le circuit ci-dessus la tension d'entrée \(e(t)\) et la charge \(q(t)\) du condensateur sont liées par une équation du type :
\(\displaystyle{ \tau . \frac{ \mathrm{d} q }{ \mathrm{d} t } + q(t) = f \big( e(t) \big) }\) ,
où \(\tau\) est la constante de temps du circuit.
Exprimer \(\tau\) en fonction des valeurs des composants du circuit.
Sachant que \(C = 220 \mathrm{ µF}\), quelle valeur faut-il donner à \(R\) pour avoir une constante de temps de valeur \(\tau = 44 \mathrm{ ms}\) ?
Solution
Les deux condensateurs en série sont équivalents à un condensateur unique de capacité \(\displaystyle{ \frac{C}{2} }\) et les deux résistances en parallèle, à une résistance unique de valeur \(\displaystyle{ \frac{R}{2} }\).
Soit \(i(t)\) l'intensité du courant entrant dans le montage, et \(q(t)\) la charge \(q\) de l'ensemble des deux condensateurs.
La loi d'additivité des tensions donne :
\(\displaystyle{ e(t) = s(t) + \frac{q(t)}{\frac{C}{2}} }\)
Comme \(\displaystyle{ i = \frac{ \mathrm{d} q }{ \mathrm{d} t } }\) et que la loi d'Ohm appliquée à la sortie donne \(\displaystyle{ s(t) = \frac{R}{2} . i(t) }\), il vient :
\(\displaystyle{ e(t) = \frac{q(t)}{\frac{C}{2}} + \frac{R}{2} . \frac{ \mathrm{d} q }{ \mathrm{d} t }}\),
qui peut s'écrire :
\(\displaystyle{ \frac{C}{2} . e(t) = q(t) + \frac{R . C}{4} . \frac{ \mathrm{d} q }{ \mathrm{d} t } }\)
Il s'agit de l'équation d'un circuit du premier ordre de constante de temps \(\displaystyle{ \tau = \frac{R . C}{4} }\) (3 pts)
Application numérique :
\(\displaystyle{ R = \frac{4 . \tau}{C} = \frac{4 * 44 . 10^{-3}}{220 . 10^{-6}} = 800 \mathrm{ } \Omega}\) (1 pt)