Variation linéaire de température
Partie
Question
Un thermoplongeur élève la température d'un bain de \(\mathrm{1°C}\) par minute. La température de départ est \(\mathrm{18°C}\). On suit l'évolution de la température à l'aide d'un capteur qui affiche la valeur de la température, et, au départ, est en équilibre thermique avec le bain. La constante de temps de ce capteur est \(\tau=\mathrm{6 s}\).
Quelle est l'équation donnant la température affichée par le capteur ?
Au bout de combien de temps peut-on, dans la réponse du capteur, négliger le terme transitoire, si la résolution du capteur est de \(1/100\) de degré ?
Quelle est la température affichée au bout de 2 minutes ? Quelle correction faut-il alors faire pour obtenir la valeur exacte de la température du bain ?
Aide simple
constante de temps
\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
Aide détaillée
Chercher solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps
Solution simple
\(\theta(t)=c.e^{-t/\tau}+\theta_0+c(t-\tau)=\mathrm{0,1}e^{-t/\tau}+18+(t-6)/60\)
\(t\ge\mathrm{13,8 s}\)
\(t=\mathrm{2 min}\); \(\theta(t)=\mathrm{19,9°C}\), correction à faire : \(+\mathrm{0,1°C}\).
Solution détaillée
Puisque le capteur est un capteur linéaire du premier ordre, sa réponse va être :
\(u(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
comme la grandeur à mesurer (température du liquide) varie linéairement dans le temps, on cherche une solution particulière fonction linéaire de \(t\)
température du liquide : \(\theta_1=\theta_0+c.t=18+t/60\)
solution particulière : \(\theta(t)=a+b.t\), d'où :\(\mathrm d\theta/\mathrm dt=b\)
résolution de l'équation différentielle :
\(\tau=(\mathrm d\theta/\mathrm dt)+\theta(t)=\theta_1\Leftrightarrow\tau b+a+b.t=\theta_0+c.t\)
identification
- des termes du premier ordre :\(b.t=c.t \Rightarrow b=c\)
- des termes constants :\(\tau b+a=\theta_0\Rightarrow a=\theta_0-\tau b=\theta_0-c\tau\)
ce qui donne \(\theta(t)=\theta_0+c(t-\tau)\), variation linéaire décalée de \(\tau\) dans le temps par rapport à la température du liquide
d'où la solution générale :
\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+\theta_0+c(t-\tau)\)
pour déterminer la constante \(\mathrm A\), il faut utiliser les conditions initiales ; comme avant que la température commence à monter, le thermomètre est en équilibre avec le liquide : \(\theta(0)=\theta_0\),
\(\theta(0)=\mathrm A+\theta_0-c.\tau=\theta_0\Rightarrow \mathrm A=c.\tau\)
Finalement :
\(\theta(t)=c.\tau.e^{-t/\tau}+\theta_0+c(t-\tau)=\mathrm{0,1}.e^{-t/6}+18+(t-6)/60\). ( \(\theta\) en \(^\circ\textrm{C} \), \(t\) en \(\mathrm s\))
l'écart \(c.\tau.e^{-t/\tau}\) entre la lecture du thermomètre et la solution particulière devient négligeable quand il est inférieur à la résolution du capteur, soit :
\(c.\tau.e^{-t/\tau}\le\mathrm{0,01°C}\Leftrightarrow\mathrm{0,1}e^{-t/6}\le\mathrm{0,01}\Leftrightarrow e^{-t/6}\le\mathrm{0,1}\Leftrightarrow e^{+t/6}\ge10\), ce qui donne \(t\ge6.\ln10=\mathrm{13,8 s}\)
au bout de deux minutes, cet écart est donc négligeable, et la température indiquée par le capteur peut être calculée en utilisant la solution particulière : \(\theta(t)=\theta_0+c(t-\tau)=\theta_1-c\tau\); la correction à faire pour avoir la température réelle du liquide est c t = 0,1°C ; le capteur indique 19,9°C, alors que la température du liquide est de 20°C.
