Réponse à un signal périodique : table traçante

Partie

On se propose d'appliquer à la voie \(\mathrm X\) d'une table traçante une tension en dent de scie dont l'amplitude varie linéairement entre \(0\) et \(\mathrm A = 10\mathrm{ Volts}\) au cours d'une période \(\mathrm T\). Cette période peut prendre toutes les valeurs comprises entre \(\mathrm{0,1}\) et \(\mathrm{1 000 s}\).

Question

Le calibre utilisé est \(\mathrm C=\mathrm{0,5 V/cm}\) et la constante de temps \(\tau\) de la table est réglée à \(\mathrm{100 ms}\). Le mouvement en fonction du temps de l'équipage mobile est régi par une équation différentielle du 1er ordre :

\(\displaystyle{t\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+x=v.t}\)

Que représente \(v\) ? Donner son expression en fonction de \(\mathrm C\), \(\mathrm T\), \(\mathrm A\).

Aide simple

constante de temps

\(x(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\)+ solution particulière de l'équation complète

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps

Aide détaillée

Changer l'origine des dates pour chaque partie.

Solution simple

\(\displaystyle{v=\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}}\)

Solution détaillée

En régime statique, l'équation différentielle

\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+x=v.t}\) devient : \(x=vt\) pour \(t\) donné.

La variation de la tension appliquée est donnée par : \(\displaystyle{U(t)=\frac{\mathrm A}{\mathrm T}t}\)

Comme le calibre utilisé est \(\mathrm C\), et que \(\displaystyle{x=\frac{\mathrm U}{\mathrm C}}\)nous avons \(\displaystyle{v=\frac{\mathrm A}{\mathrm C\mathrm T}}\)

Question

Application numérique : \(\mathrm T = \mathrm{500 s}.\)

Aide simple

constante de temps

\(x(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\)+ solution particulière de l'équation complète

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps

Aide détaillée

Changer l'origine des dates pour chaque partie.

Solution simple

\(v=\mathrm{0,04 cm/s}\).

Solution détaillée

pour \(\mathrm{T = 500 s}\): \(\displaystyle{v=\frac{10}{\mathrm{0,5}\times500}=\mathrm{0,04 cm/s}}\)

Question

En l'absence de signal électrique, le stylet se trouve à l'abscisse \(x_i=\mathrm{5 cm}\). Donner la solution littérale \(x(t)\) de l'équation différentielle. Calculer l'abscisse \(x_1\) atteinte par le stylet au bout de \(\mathrm{T = 1 000 s}\).

Aide simple

constante de temps

\(x(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\)+ solution particulière de l'équation complète

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps

Aide détaillée

Changer l'origine des dates pour chaque partie.

Solution simple

\(\displaystyle{x(t)=\left(x_i+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}\tau\right)+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}(t-\tau)}\); \(x_1\quad \# \quad\mathrm{20 cm}\)

Solution détaillée

La solution de l'équation différentielle est la somme de la solution générale de l'ESSM : \(x= \alpha.e^{-t/\tau}\) et d'une solution particulière de l'équation complète. On cherche une solution particulière de la même forme que le second membre : \(x=\mathrm a+\mathrm b.t\)

\(\displaystyle{\tau.\mathrm b+\mathrm a+\mathrm b.t=\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}t\quad\Rightarrow\quad\mathrm b=\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}\quad\mathrm a=-\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}\tau}\)

donc : \(\displaystyle{x=\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}(t-\tau)}\)

d'où la solution complète : \(\displaystyle{x= \alpha.e^{-t/\tau}+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}(t-\tau)}\)

à \(\mathrm T = 0\) : \(\displaystyle{x_i=\alpha-\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}\tau\Rightarrow\alpha+x_i+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}\tau\quad\quad x=\left(x_i+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}\tau\right).e^{-t/\tau}+(t-\tau)}\)

\(\mathrm T=\mathrm{1000 s}\gg \mathrm t=\mathrm{100 ms}\Rightarrow\) on peut négliger le régime transitoire.

\(\displaystyle{x_1=\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}(\mathrm T-\tau)=\frac{\mathrm A}{\mathrm C}\left(1-\frac{\tau}{\mathrm T}\right)=\frac{10}{\mathrm{0,5}}\left(1-\frac{10^{-2}}{10^3}\right)~\#~20\mathrm{ cm}}\)

l'erreur de traînage est négligeable.

Question

La période de la dent de scie est fixée à 1 seconde. Calculer l'abscisse \(x_2\) atteinte par le stylet au bout de la première période. Donner l'expression de la solution \(x(t)\) au cours de la période suivante. Donner les positions extrêmes \(x_3\) et \(x_4\) du stylet au cours de la seconde période (à l'abscisse minimum, la vitesse est nulle).

Aide simple

constante de temps

\(x(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\)+ solution particulière de l'équation complète

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps

Aide détaillée

Changer l'origine des dates pour chaque partie.

Quand le mouvement change de sens, la vitesse s 'annule.

Solution simple

\(x_2=\mathrm{18 cm}\); \(\displaystyle{x(t)=\frac{\mathrm A}{\mathrm C}.e^{-t/\tau}+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}(t-\tau)}\); \(x_4=x_2\) ; \(x_3=\mathrm{4,6 cm}\)

Solution détaillée

\(\mathrm T=\mathrm{1 s}\gg\tau=\mathrm{100 ms}\): transitoire négligeable.

\(\displaystyle{x_2=\frac{\mathrm A}{\mathrm C}\left(1-\frac\tau{\mathrm T}\right)=\frac{10}{\mathrm{0,5}}\left(1-10^{-1}\right)=\mathrm{18 cm}}\); erreur de traînage : \(\mathrm{2 cm}\).

Si on prend \(\mathrm t = 0\) au début de la seconde période, la solution :\(\displaystyle{x=\alpha.e^{-t/\tau}+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}(t-\tau)}\)

donne à \(\mathrm t=0\): \(\displaystyle{x_2=\alpha-\frac{\mathrm A\tau}{\mathrm T}\quad\quad\alpha=x_2+\frac{\mathrm A\tau}{\mathrm T}=\frac{\mathrm A}{\mathrm C}\quad\quad x=\frac{\mathrm A}{\mathrm C}.e^{-t/\tau}+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}(t-\tau)}\)

Soit \(x_3\) la position du minimum, \(x_4\) celle du maximum. Comme \(\mathrm T=10\tau\), on peut négliger le transitoire ; donc :

\(\displaystyle{x_4=x_2=\frac{\mathrm A}{\mathrm C}\left(1-\frac{\tau}{\mathrm T}\right)=\mathrm{18 cm}}\)

\(x_3\) est la valeur pour laquelle \(\displaystyle{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0}\) ; \(\displaystyle{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm A}{\mathrm C\tau}.e^{-t/\tau}+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}}\)

\(\displaystyle{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0\Leftrightarrow\mathrm e^{-t3/\tau}=\frac{\tau}{\mathrm T}\quad t_3=\tau\ln\frac{\mathrm T}{\tau}=10^{-1}\ln10}\)

\(\displaystyle{x_3=\frac{\mathrm A}{\mathrm C}\frac{\tau}{\mathrm T}+\frac{\mathrm A}{\mathrm{CT}}(t_3-\tau)=\frac{\mathrm At_3}{\mathrm{CT}}=\mathrm{4,6 cm}}\)

Question

Décrire qualitativement le déplacement du stylet au cours des périodes suivantes.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Aide simple

constante de temps

\(x(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\)+ solution particulière de l'équation complète

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps

Aide détaillée

Changer l'origine des dates pour chaque partie.

Solution simple

oscillations entre \(x_3\) et \(x_4\)

Solution détaillée

Déplacement identique à la 2ème période

mouvement périodique entre \(x_3\) et \(x_4\)