Régulation thermostatique par thermocontact

Partie

Question

Un système de chauffage élève la température d'un bain de liquide avec une vitesse constante \(\mathrm c\). La température de ce liquide est contrôlée par un thermomètre de constante de temps \(\tau\). Le chauffage commence à une date que l'on prendra comme origine, le liquide ayant pour température \(\theta_0\). Etablir l'équation d'évolution de la température \(\theta(t)\) lue sur le thermomètre. Application numérique : \(c=\mathrm{15°C.min}^{-1}\); \(\theta_0=\mathrm{20°C}\); \(\tau=\mathrm{6 s}\).

Aide simple

constante de temps

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

Aide détaillée

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps Changer l'origine des dates pour la seconde partie.

Solution simple

\(\displaystyle{\theta(t)=c.\tau.e^{{-t}/{\tau}}+\theta_0+c(t-\tau)=\mathrm{1,5}.e^{{-t}/{6}}+20+\frac{(t-6)}{4}}\) (\(\theta\) en \(^\circ\textrm{C} \), \(t\) en \(\mathrm s\))

Solution détaillée

Puisque le thermomètre est un capteur linéaire du premier ordre, sa réponse va être :

\(u(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

comme la grandeur à mesurer (température du liquide) varie linéairement dans le temps, on cherche une solution particulière fonction linéaire de \(t\)

température du liquide :\(\theta_1=\theta_0+\mathrm c.t=20+15t/60=20+t/4\)

solution particulière : \(\theta(t)=\mathrm a+\mathrm b.t\), d'où : \(\mathrm dq/\mathrm dt=\mathrm b\)

résolution de l'équation différentielle :

\(\tau(\mathrm dq/\mathrm dt)+\theta(t)=\theta_1\Leftrightarrow t.\mathrm b+\mathrm a+\mathrm b.t=\theta_0+\mathrm c.t\)

identification

- des termes du premier ordre :\(\mathrm b.t=\mathrm c.t\Rightarrow \mathrm b=\mathrm c\)

- des termes constants :\(\tau.\mathrm b+\mathrm a=\theta_0\Rightarrow \mathrm a=\theta_0-\tau.\mathrm b=\theta_0-\mathrm c.\tau\)

ce qui donne \(\theta(t)=\theta_0+\mathrm c(t-\tau)\), variation linéaire décalée de \(\tau\) dans le temps par rapport à la température du liquide d'où la solution générale :

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+\theta_0+\mathrm c(t-\tau)\).

pour déterminer la constante \(\mathrm A\), il faut utiliser les conditions initiales ; avant que la température commence à monter, le thermomètre est supposé en équilibre avec le liquide : \(\theta(0)=\theta_0\),

\(\theta(0)=\mathrm A+\theta_0-\mathrm c.\tau=\theta_0\Rightarrow\mathrm A=\mathrm c.\tau\).

. Finalement :

\(\theta(t)=\mathrm c.t.\mathrm e^{-t/\tau}+\theta_0+\mathrm c(t-\tau)=\mathrm{1,5}\mathrm e^{-t/6}+20+(t-6)/4\).(\(\theta\) en \(^\circ\textrm{C} \), \(t\) en \(\mathrm s\))

Question

Compte tenu de la précision de lecture \(\Delta\theta\) du thermomètre, à partir de quelle date \(t_1\) pourra-t-on négliger le régime transitoire dans l'équation \(\theta(t)\)? Application numérique : \(\Delta\theta=\mathrm{0,1°C}\).

Aide simple

constante de temps

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

Aide détaillée

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps Changer l'origine des dates pour la seconde partie.

Solution simple

\(t_1\ge\mathrm{16,2 s}\)

Solution détaillée

l'écart \(\mathrm c.t.\mathrm e^{-t/\tau}\) entre la lecture du thermomètre et la solution particulière devient négligeable quand il est inférieur à la résolution du thermomètre, soit :

\(\mathrm c.\tau.\mathrm e^{-t/\tau}\le\mathrm{0,1°C}\Leftrightarrow\mathrm{1,5}\mathrm e^{-t/6}\le\mathrm{0,1}\Leftrightarrow\mathrm e^{-t/6}\le\mathrm{0,1}/\mathrm{1,5}\Leftrightarrow\mathrm e^{+t/6}\ge15\),

ce qui donne \(t_1\ge6.\ln15=\mathrm{16,2 s}\).

Question

Le thermomètre utilisé est un thermomètre à contact. Quand il indique la température de consigne \(\theta_1\), il coupe le chauffage. A quelle date \(t_2\) se produit cette coupure ? Quelle est alors la température du liquide ? Application numérique : \(\theta_1=\mathrm{50°C}\).

Aide simple

constante de temps

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

Aide détaillée

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps Changer l'origine des dates pour la seconde partie.

Solution simple

\(t_2=126s\) ; \(\theta_2=\mathrm{51,5°C}\)

Solution détaillée

il faut deux minutes pour que le liquide atteigne la température de consigne \(\theta_1\) : le régime transitoire est alors négligeable, et la température lue sur le thermomètre vaut alors \(\theta(t)=\theta_0+\mathrm c(t-\tau)\). Il indique \(\theta_1\) à la date \(t_2\) telle que \(\theta(t_2)=\theta_1=\theta_0+\mathrm c(t_2-\tau)\); \(t_2=\tau+(\theta_1-\theta_0)/c\); la température du bain est alors \(\theta_2=\theta_0+\mathrm c.t_2\)

application numérique : \(t_2=\mathrm{126 s}\) ; \(\theta_2=\mathrm{51,5°C}\)

Question

Dès que le chauffage s'arrête, le liquide cède de la chaleur au milieu ambiant et se refroidit avec une vitesse \(r\). Etablir la nouvelle équation d'évolution de la température \(\theta(t)\) lue sur le thermomètre.

Application numérique : \(r=-\mathrm{3°C.min}^{-1}\)

Aide simple

constante de temps

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

Aide détaillée

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps Changer l'origine des dates pour la seconde partie.

Solution simple

\(\displaystyle{\theta(t)=(r-c).\tau.e^{{-t}/{\tau}}+\theta_2+r(t-\tau)=-\mathrm{0,2}.e^{{-t}/{6}}+\mathrm{51,5}+\frac{(t-6)}{20}}\) (\(\theta\) en \(^\circ\textrm{C} \), \(t\) en \(\mathrm s\))

Solution détaillée

comme la grandeur à mesurer (température du liquide) varie linéairement dans le temps, on cherche une solution particulière fonction linéaire de \(t\); en prenant pour nouvelle origine des dates l'instant auquel le chauffage s'arrête :

température du liquide : \(\theta_1=\theta_2+\mathrm r.t=\mathrm{51,5}+3t/60=\mathrm{51,5}+t/20\)

solution particulière : \(\theta(t)=\mathrm a+\mathrm b.t\), d'où : \(\mathrm dq/\mathrm dt=\mathrm b\)

résolution de l'équation différentielle :

\(\tau(\mathrm dq/\mathrm dt)+\theta(t)=\theta_1\Leftrightarrow \tau.\mathrm b+\mathrm a+\mathrm b.t=\theta_2+\mathrm r.t\)

identification

- des termes du premier ordre :\(\mathrm b.t=\mathrm r.t\Rightarrow \mathrm b=\mathrm r\)

- des termes constants :\(\tau.\mathrm b+\mathrm a=\theta_2\Rightarrow \mathrm a=\theta_2-\tau.\mathrm b=\theta_0-\mathrm r.\tau\)

ce qui donne \(\theta(t)=\theta_2+\mathrm r(t-\tau)\), variation linéaire décalée de \(\tau\) dans le temps par rapport à la température du liquide d'où la solution générale :

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+\theta_2+\mathrm c(t-\tau)\).

pour déterminer la constante \(\mathrm A\), il faut utiliser les conditions initiales ; quand la température commence à baisser, le thermomètre indique la température de consigne : \(\theta(0)=\theta_1\),

\(\theta(0)=\mathrm A+\theta_2-\mathrm r.\tau=\theta_1\Rightarrow\mathrm A=\theta_1-\theta_2+\mathrm r.\tau=(\mathrm r-\mathrm c).\tau\).

. Finalement :

\(\displaystyle{\theta(t)=(\mathrm r-\mathrm c).\tau.e^{{-t}/{\tau}}+\theta_2+\mathrm r(t-\tau)=-\mathrm{0,2}.e^{{-t}/{6}}+\mathrm{51,5}+\frac{(t-6)}{20}}\) (\(\theta\) en \(^\circ\textrm{C} \), \(t\) en \(\mathrm s\))

Question

A quelle date \(t_3\) la température du liquide vaudra-t-elle à nouveau \(\theta_1\)? Quelle sera alors la température \(\theta_3\) lue sur le thermomètre ? Faut-il encore tenir compte du régime transitoire ?

Aide simple

constante de temps

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

Aide détaillée

Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps Changer l'origine des dates pour la seconde partie.

Solution simple

\(t_3=t_2+\mathrm{30 s}\) ; \(\theta_3=\mathrm{50,3°C}\); non

Solution détaillée

la température du liquide a pour équation d'évolution :\(\theta_1=\theta_2+\mathrm r.t=\mathrm{51,5}+t/20\); elle vaudra \(\theta_1\) pour \(t_3\) telle que : \(\theta_1=\theta_2+\mathrm r.t_3\), soit \(t_3=(\theta_1-\theta_2)/r=\mathrm{1,5}/\mathrm{0,05}=\mathrm{30 s}\)après le début du refroidissement, donc \(\mathrm{156 s}\) après le début du chauffage. Comme \(t_3\gg\tau\), le régime transitoire est négligeable, et la température indiquée par le thermomètre est donnée par :

\(\theta_3=\theta(t_3)=\theta_2+\mathrm r(t_3-\tau)=\mathrm{51,5}-\mathrm{0,05}(30-6)=\mathrm{50,3°C}\)

Question

Pour quelle température \(\theta_4\) du liquide le chauffage se remet-il en marche ?

Aide simple

constante de temps

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

Aide détaillée

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Solution simple

\(\theta_4=\mathrm{49,7°C}\)

Solution détaillée

le chauffage se déclenchera à nouveau quand le thermomètre indiquera \(\theta_1\), soit à la date \(t_3\) telle que , \(\theta_1=\theta(t_4)=\theta_2+\mathrm r(t_4-\tau)\), soit \(t_4=t_3+\tau=\mathrm{36 s}\) après le début du refroidissement. La température du liquide sera alors \(\theta_4=\theta_1+\mathrm r.\tau=50-\mathrm{0,3}=\mathrm{49,7°C}\).

la température du liquide va, à partir de cette date, évoluer selon : \(\theta_1=\theta_4+\mathrm c.t\)

la température lue aura pour équation : \(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+\theta_4+\mathrm c.(t-\tau)\)

conditions initiales : \(\theta_1=\mathrm A+\theta_4-\mathrm c.\tau\), d'où \(\mathrm A=\theta_1-\theta_4+\mathrm c.\tau=(\mathrm c-\mathrm r).\tau\); finalement :

\(\displaystyle{\theta(t)=(\mathrm c-\mathrm r).t.e^{{-t}/{\tau}}+\theta_4+\mathrm c(t-\tau)=\mathrm{0,2}.e^{{-t}/{6}}+\mathrm{49,7}+\frac{(t-6)}{4}}\) (\(\theta\) en \(^\circ\textrm{C} \), \(t\) en \(\mathrm s\))

Question

Comment pourrait-on améliorer cette régulation ?

Aide simple

constante de temps

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

Aide détaillée

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Solution détaillée

pour améliorer la régulation, on peut :

- prendre un thermomètre ayant moins d'inertie ( = diminuer le traînage \(\tau\))

- une fois la température de consigne atteinte, diminuer la vitesse de chauffage ( = diminuer l'erreur de traînage \(\mathrm c.\tau\))

- améliorer l'isolation du bain pour diminuer la vitesse de refroidissement ( = diminuer l'erreur de traînage \(\mathrm r.\tau\))