Capteur de pression, constante de temps
Partie
La pression à l'intérieur d'une enceinte est mesurée à l'aide d'un manomètre, qui peut être considéré comme un système du premier ordre régi par l'équation différentielle suivante :
\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}+P=P_e}\)
où \(\tau\) est la constante de temps du manomètre, \(P_e\) est la pression dans l'enceinte et \(p(t)\) la pression lue sur le manomètre.
Question
De \(t=0\) à \(t_1=\mathrm{30 s}\), on vide l'enceinte à l'aide d'une pompe ; la pression décroît linéairement de \(P_0=10^5\mathrm{ Pa}\) à \(P_f=10^4\mathrm{ Pa}\).
Donner l'expression littérale de la pression \(p(t)\) lue sur le manomètre en fonction du temps.
Sachant que \(\tau=\mathrm{5 s}\), quelle valeur lit-on sur le manomètre à \(t_1=\mathrm{30 s}\)?
Représenter graphiquement \(P_e(t)\) et \(p(t)\).
Aide simple
\(p(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
Aide détaillée
Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps pour la première partie, constante pour la seconde
Changer l'origine des dates pour la seconde partie.
Solution simple
1. \(p(t)=v.\tau.e^{-t/\tau}+P_0+V(t-\tau)=-\mathrm{18.10}^3e^{-t/\tau}+10^5(t-5)\). (p en Pa, t en s)
2. \(p(t)=\mathrm{2,8.10}^4\mathrm{ Pa}\)
3. Voir courbe
Solution détaillée
Puisque le capteur est un capteur linéaire du premier ordre, sa réponse va être :
\(p(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
comme la grandeur à mesurer (pression dans l'enceinte) varie linéairement dans le temps, on cherche une solution particulière fonction linéaire de \(t\)
pression dans l'enceinte :
\(P_e(t)=P_0+v.t=P_0+(P_f-P_0)t/t_1=10^5-9.10^4t/30=10^5-3.10^3t\)
(p en Pa, t en s)(\(v<0\))
solution particulière : \(p(t)=\mathrm a+\mathrm{b.}t\), d'où :\(\mathrm d\theta/\mathrm dt=\mathrm b\)
résolution de l'équation différentielle :
\(\tau(\mathrm dp/\mathrm dt)+p(t)=p_e(t)\Leftrightarrow\tau\mathrm b+\mathrm a+\mathrm bt=P_0+vt\)
identification
- des termes du premier ordre :\(bt=vt\Rightarrow b=v\)
- des termes constants : \(\tau b+a=P_0\Rightarrow a=P_0-\tau v=P_0-v\tau\)t
ce qui donne \(p(t)=P_0+v(t-\tau)\), variation linéaire décalée de t dans le temps par rapport à la pression dans l'enceinte d'où la solution générale :
\(p(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+P_0+v(t-\tau)\)
pour déterminer la constante \(\mathrm A\), il faut utiliser les conditions initiales ; comme avant que la pression dans l'enceinte commence à baisser, le manomètre est en équilibre avec l'enceinte :
\(p(0)=P_0\), \(p(0)=\mathrm A+P_0-v\tau=P_0\Rightarrow\mathrm A=v\tau\).
Finalement :
\(p(t)=v.\tau.\mathrm e^{-t/\tau}+P_0+V(t-\tau)=-18.10^3.e^{-t/5}+10^5-3.10^3(t-5)\)(p en Pa, t en s)
pour \(t=t_1=\mathrm{30 s}\), le terme transitoire \(v.\tau.\mathrm e^{-t/\tau}\) vaut \(v.\tau.\mathrm e^{-t/t_1}=-3.10^3.e^{-t/30}=\mathrm{7,5 Pa}\), ce qui, comparé aux autres données, est tout à fait négligeable. La pression indiquée par le capteur peut être calculée en utilisant la solution particulière :
\(p(t_1)=P_1=P_0+v(t_1-\tau)=p_e-v\tau=P_f-v\tau=10^4+18.10^3=28.10^3\mathrm{ Pa}\).
Question
A \(t_1=\mathrm{30 s}\), on ouvre brutalement une vanne mettant en communication l'enceinte avec l'extérieur, et la pression remonte à \(P_0\) en \(3/100\) de seconde.
Compte tenu de la valeur de \(\tau\), peut-on considérer cette variation comme un échelon ?
Au bout de combien de temps pourra t-on négliger l'écart entre \(p(t)\) et \(P_0\), sachant que la précision de lecture du manomètre est \(\mathrm{10² Pa}\)?
Représenter graphiquement \(P_e(t)\) et \(p(t)\)
Aide simple
\(p(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
Aide détaillée
Chercher une solution particulière de l'équation complète fonction linéaire du temps pour la première partie, constante pour la seconde
Changer l'origine des dates pour la seconde partie.
Solution simple
1. Oui.
2. \(t>\mathrm{40 s}\)
3. Voir courbe
Solution détaillée
1. La variation de pression dans l'enceinte se fait en \(3/100\) de s, ce qui, comparé aux \(\mathrm{5 s}\) de la constante de temps du capteur, peut être considéré comme tout à fait négligeable. Le retour à la pression \(P_0\) peut être considéré comme un échelon de pression.
2. comme la grandeur à mesurer (pression dans l'enceinte) est constante, la réponse va être :
\(p(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+cste=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+P_0\)
pour déterminer la constante \(\mathrm A\), il faut utiliser les conditions initiales ; en prenant comme origine des dates l'instant où la pression dans l'enceinte revient brutalement à \(P_0\), on a :
\(p(0)=P_1=28.10^3\mathrm{ Pa}\Rightarrow P_1=\mathrm A+P_0\Rightarrow \mathrm A=P_1-P_0=-\mathrm{7,2.10}^4\mathrm{ Pa}\); finalement :
\(p(t)=(P_1-P_0).e^{-t/\tau}+P_0=-\mathrm{7,2.10}^4.e^{-t/6}+10^4\) (p en Pa, t en s).
l'écart entre la lecture et la pression effective sera négligeable quand il sera inférieur à la précision d'affichage du capteur, soit :
\(\mathrm{7,2.10}^4.e^{-t/6}<10^2\Leftrightarrow e^{-t/6}<10^2/\mathrm{7,2}\Leftrightarrow e^{-t/6}>720\Leftrightarrow t>6.\ln720\approx\mathrm{40 s}\)
3. voir courbe